一、單調性判斷定理

定理：
設函數y=f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導。
(1)如果在(a，b)內f(x)≥0，且等號僅在有限多個點處成立，那么函數y=f(x)在[a，b]上單調增加;
(2)如果在(a，b)內f(x)≤0，且等號僅在有限多個點處成立，那么函數y=f(x)在[a，b]上單調減少。

證明思路：
利用拉格朗日中值公式，可以正得任意兩點的函數值差等于某點導數與兩點x值的差的乘積，因此x值的差決定了函數值的差的符號。

另外對于導數為0的點，將區間分成了2部分，每部分的單調性跟隨導數的值與自變量的差的值，這表明兩個區間的單調性遵循定理的要求，則兩個區間疊加后也會遵循。

二、曲線凹凸性判斷

1、凹凸性的判斷規則

函數曲線的上升或下降反映了函數的單調性，而曲線在上升或下降過程中，還存在一個彎曲方向的問題，如圖：

都是上升曲線，曲線ACB向上凸起，而ADB則向下彎曲。

曲線的凹凸性在幾何圖形上的描述：通過曲線上任取兩點，如果連接這兩點的直線（弦）總是位于這兩點曲線弧的上方，則曲線是向下彎曲（凹），如果弦總是位于曲線弧的上方，則曲線是向上凸的。

曲線的凹凸性函數形式的表達：
設f(x)在區間I上連續，如果對I上任意兩點x1、x2恒有：

那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧)，如果恒有：

那么稱/(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧)。

2、曲線凹凸性判斷定理

設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內具有一階和二階導數，那么
(1)若在(a,b)內f”(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的;
(2)若在(a,b)內f”(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。

證明思路：

任取區間內兩點x1、x2，假設x2>x1，然后取x0=(x1+x2)/2，記h=x0-x1=x2-x0，分別對區間[x1,x0]、[x0,x2]應用柯西中值定理，得到的兩個式子相減后再應用柯西中值定理，如果函數f(x)的二階導數大于0，就可以得到：

三、極值

1、定義

設函數f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內有定義，如果對于去心鄰域U°(x0)內的任一x，有
f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0))，那么就稱f(x0)是函數f(x)的一個極大值(或極小值)。

備注：去心鄰域實際的表示不是U°，而是在U上面一個小圈，但無法用文字輸入，因此老猿所有的博文都用了U°來表示，實際的符號應該是：

函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，使函數取得極值的點稱為極值點。

函數的極大值和極小值概念是局部性的。如果f(x0)是函數f(x)的一個極大值，那是就x0附近的一個局部范圍來說，f(x0)是f(x)的一個最大值，如果就f(x)的整個定義域來說f(x0)不見得是最大值。關于極小值也類似。

在圖3-11中，函數f(x)有兩個極大值：f(x2)、f(x5)，三個極小值：f(x1)、f(x4)、f(x6)，其中極大值f(x2)比極小值f(x0)還小。就整個區間[a，b]來說，只有一個極小值f(x1)同時也是最小值，而沒有一個極大值是最大值。

2、定理1(必要條件)

定理：設函數f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，則f’(x0)=0。

定理1就是說：可導函數f(x)的極值點必定是它的駐點，但反過來，函數的駐點卻不一定是極值點。

例如，f(x)=x³的導數f’(x)=3x²，f’(0)=0，因此x=0是這可導函數的駐點，但x=0卻不是這函數的極值點。

所以，函數的駐點只是可能的極值點。此外，函數在它的導數不存在的點處也可能取得極值。

3、定理2(第一充分條件)

定理：設函數f(x)在x0處連續，且在x0的某去心鄰域U°(x0,δ)內可導。
(1)若x∈(x0-δ,x0)時，f’(x)>0，而x∈(x0,x0+δ)時，f’(x)<0，則f(x)在x0處取得極大值；
(2)若x∈(x0-δ,x0)時，f’(x)<0，而x∈(x0,x0+δ)時，f’(x)>0，則f(x)在x0處取得極小值；
(3)若x∈U°(x0,δ)時，f’(x)的符號保持不變，則f(x)在x0處沒有極值。

定理2也可簡單地這樣說：當x在x0的鄰近漸增地經過x0時，如果f’(x)的符號由正變負，那么f(x)在x0處取得極大值；如果f(x)的符號由負變正，那么f(x)在x0處取得極小值；如果f’(x)的符號并不改變，那么f(x)在x0處沒有極值。

根據上面的兩個定理，如果函數f(x)在所討論的區間內連續，除個別點外處處可導，那么就可以按下列步驟來求f(x)在該區間內的極值點和相應的極值：
(1)求出導數f’(x);
(2)求出f(x)的全部駐點與不可導點;
(3)考察f’(x)的符號在每個駐點或不可導點的左、右鄰近的情形，以確定該點是否為極值點；如果是極值點，進一步確定是極大值點還是極小值點；
(4)求出各極值點的函數值，就得函數(x)的全部極值。

4、定理3(第二充分條件)

定理：設函數f(x)在x0處具有二階導數且f’(x0)=0，f"(x0)≠0，則
(1)當f"(x0)<0時，函數f(x)在x0處取得極大值;
(2)當f”(x)>0時，函數f(x)在x0處取得極小值。

證明思路：
根據導數的定義有：

而f’(x0)=0，可以得到x在x0的足夠小的去心鄰域時，上式右邊不帶極限符號的表達式的運算結果的符號取決于f"(x0)的符號，也可以得出f’(x)的符號與x-x0的符號的關系，再結合定理2就可以證明上述結論。

定理3表明：

如果函數f(x)在駐點x0處的一階導數f’(x0)=0、二階導數f”(x0)≠0，那么該駐點x0一定是極值點，并且可以按二階導數f”(x0)的符號來判定f(x0)是極大值還是極小值。

但如果f"(x)=0，那么定理3就不能應用。事實上，當f’(x0)=0，f"(x)=0時(x)在x處可能有極大值，也可能有極小值，也可能沒有極值。

例如，f(x)=-x⁴,f2(x)=x⁴,f3(x)=x³這三個函數在x=0處就分別屬于這三種情況。

因此，如果函數在駐點處的二階導數為零，那么可以用一階導數在駐點左右鄰近的符號來判定；如果函數在駐點處有f"(x0)=…=f^(n-l)(x0)=0，f⁽ⁿ⁾(x0)≠0，那么也可利用具有佩亞諾余項的泰勒公式來討論判定)。

四、求最值的方法

假定函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內除有限個點外可導，且至多有有限個駐點。在上述條件下，我們來討論f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的求法。

首先，由閉區間上連續函數的性質可知，f(x)在[a，b]上的最大值和最小值一定存在。

其次，如果最大值(或最小值)f(x0)在開區間(a，b)內的點x0處取得，那么，按f(x)在開區間內除有限個點外可導且至多有有限個駐點的假定，可知f(x0)一定也是f(x)的極大值(或極小值)，從而x0一定是f(x)的駐點或不可導點。又f(x)的最大值和最小值也可能在區間的端點處取得。

因此，可用如下方法求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值：
(1)求出f(x)在(a，b)內的駐點及不可導點;
(2)計算f(x)在上述駐點、不可導點處的函數值及f(a)、f(b);
(3)比較(2)中諸值的大小，其中最大的便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小的便是f(x)在[a，b]上的最小值。

在求函數的最大值(或最小值)時，特別值得指出的是下述情形：f(x)在一個區間(有限或無限，開或閉)內可導且只有一個駐點x0，并且這個駐點x0是函數f(x)的極值點，那么，當f(x0)是極大值時f(x0)就是f(x)在該區間上的最大值(圖3-15(a))；當f(x0)是極小值時f(x0)就是f(x)在該區間上的最小值(圖3-15(b))，在應用問題中往往遇到這樣的情形。

五、借助導數描繪函數圖形

借助于一階導數的符號，可以確定函數圖形在哪個區間上上升，在哪個區間上下降；

借助于二階導數的符號，可以確定函數圖形在哪個區間上為凹，在哪個區間上為凸，在什么地方有拐點。

知道了函數圖形的升降、凹凸以及拐點后，也就可以掌握函數的形態，并把函數的圖形畫得比較準確。

利用導數描繪函數圖形的一般步驟如下：

第一步 確定函數y=f(x)的定義域及函數所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等)，并求出函數的一階導數f’(x)和二階導數f"(x)；

第二步 求出一階導數’(x)和二階導數f”(x)在函數定義域內的全部零點，并求出函數f(x)的間斷點及f’(x)和f”(x)不存在的點，用這些點把函數的定義域劃分成幾個部分區間；

第三步 確定在這些部分區間內f’(x)和f“(x)的符號，并由此確定函數圖形的升降、凹凸和拐點；

第四步 確定函數圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢；

第五步 算出f’(x)和f”(x)的零點以及不存在的點所對應的函數值，定出圖形上相應的點；

為了把圖形描繪得準確些，有時還需要補充一些點，然后結合第三、四步中得到的結果，聯結這些點畫出函數y=f(x)的圖形。

現在，隨著現代計算機技術的發展，借助于計算機和許多數學軟件，可以方便地畫出各種函數的圖形。但是，如何識別機器作圖中的誤差，如何掌握圖形上的關鍵點，如何選擇作圖的范圍等，從而進行人工干預，仍然需要我們有運用微分學的方法描繪函數圖形的基本知識。

六、小結

本文介紹了利用導數判斷函數單調性、凹凸性、極值相關的概念和定理，通過本文的介紹，可以熟悉通過導數判斷函數單調性、凹凸性、極值以及求最值的原理和方法。最后，通過一階導數和二階導數確定了函數的單調性、凹凸性、極值點之后，就可以描繪出函數的幾何圖形。

說明：

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總結

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