關于兩個周期函數的和的周期性的討論

因為排版和敲數學公式的局限性，很多地方寫得并不是非常嚴格，或者有些跳躍，望海涵。

初衷

想這個問題的初衷是在給同學們習題課的時候（華東師大版的數學分析），里面有一道題，如下：
求下列函數的周期:$\cos \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{3}$。
這道題本身比較簡單，顯然 $12\pi$ 是它的一個周期，如果這里的周期理解為基本周期（最小正周期）的話（有同學發問了），我們還得 check $6\pi$ 不是它的一個周期，這也是很容易的，找兩個點算一算即可。

那么，作為數學分析課程的學習，我們就不應該滿足于此，應該考慮更多一些些？

簡單地問，兩個周期函數的和是否是周期函數？若是，周期是多少？最小正周期又是多少？

準備工作

定義（可公度）：
對于實數 $T_1,T_2$，若存在 ${\mathrm{m}}_{,}\mathrm{n}\in \mathrm{N},$ 使 ${\mathrm{T}}_1/{\mathrm{T}}_2=\mathrm{m}/\mathrm{n}$，則稱 $T_1,T_2$ 可公度，否則稱為不可公度。

引理
設 $T_1,T_2$ 是兩個不可公度的正數，則存在數偶序列 $\left(m_k,n_k\right),k=1,2,3,?,$ 使得
$$\underset{k\to \infty }{\lim }\left(m_k{T}_1+n_k{T}_2\right)=0$$
其中 $m_k,n_k$ 都是整數.

證明：
當$T_1=T_2$的時候顯然，下面不妨假設$a_0:=T_1>T_2:=a_1$。
我們可以用輾轉相除法構造一個數列$a_k$，
$$a_0=i_1{a}_1+a_2$$
$$a_1=i_2{a}_2+a_3$$
$$\dots \dots$$
以此類推。易知，這里的 $a_k\to 0$，并且它可以遞推地寫成：
$$a_k=m_k{a}_0+n_k{a}_1$$
的形式。譬如，
$$a_2=a_0?i_1{a}_1=?i_{1}a+b=m_{1}a+n_{1}b$$
$$a_3=a_1?i_2{a}_2=\left(1?i_2{m}_1\right)a?i_2{n}_{1}b=m_{2}a+n_{2}b$$
$$\dots \dots$$

證畢。

從這里引理，我們可以隱隱地感覺到，如果一個連續的周期函數的周期可以寫成$m_{}{T}_1+n_{}{T}_2,?m,n$ 的形式，那么，這個函數的周期可以任意小，也就是說，它應該要是一個常數函數。

定理和證明

有了以上的一些準備，我們就可以證明一些定理。

定理（和為周期函數的充要條件）：
設 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定義在 $\mathbb{R}$ 上的連續非常值最小正周期分別為 $T_1,T_2$ 的周期函數，那么
$$f+g為\text{周期函數}?T_1,T2\text{可公度}$$

證明：
充分性是顯然的。假設$T_1=ma,T_2=na$，那么 $mna$ 必然是 $f+g$ 的周期。下證必要性。即證，若$T_1,T_2$不可公度，則$f+g$必不是周期函數。
反證。假設$f+g$是以$T$為周期的周期函數。
$$f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)$$
則，
$$f(x+T)?f(x)=g(x)?g(x+T)\equiv \phi (x)$$
易觀察到，$\phi (x)$以$T_1$為周期，也以$T_2$為周期，那么，它便以$m_k{T}_1+n_k{T}_2\equiv T_k$為周期。由引理知$T_k\to 0$，又因$\phi (x)$的連續性質，我們知道$\phi (x)=常數$。
進一步，由$$f(x+T)?f(x)=常數$$，若 $常數=0$ 意味$f$是個無界函數，這和它是周期函數相矛盾。所以，
$$f(x+T)?f(x)=g(x)?g(x+T)=0$$
即$f$和$g$必然以$T$為周期。說明$T=k{T}_1=l{T}_2$，這和$T_1,T_2$不可公度是矛盾的。得證。

PS:
1、事實上，這里的必要性證明只要$f$和$g$中有一個是連續的即可。
2、非常值條件的設定是因為常值函數沒太大意義。
3、定義在 $\mathbb{R}$上和連續的假設，是符合常規考慮的。
4、如果沒有連續性和周期性的假設，那么有一些更廣泛的討論。可以參考一些書，比如《數學分析中的問題和反例》、《實分析中的反例 微積分中的反例》、《吉米多維奇數學分析習題集學習指引》、《數學分析拾遺》（趙顯曾 著）、裴禮文的習題集等等。還有網上的一些中小學老師寫的一些文章（鳥不拉屎錯誤連連）。
5、事實上，這里的最小正周期這個條件可以換為周期。

定理 （周期函數和的最小正周期，$m,n>1$）

設 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定義在 $\mathbb{R}$ 上的連續非常值最小正周期分別為 $T_1=n\alpha ,T_2=m\alpha$ 的周期函數，這里
$$\mathrm{m},\mathrm{n}\in \mathrm{N},\mathrm{m},\mathrm{n}>1,(\mathrm{m},\mathrm{n})=1,\alpha \text{是正實數}$$
那么函數 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+g(x)$是周期函數，且最小正周期為$mn\alpha$。

證明：

和為周期函數的充要條件知 $h$ 是周期函數，$mn\alpha$ 是一個周期，下證其為最小正周期。
只要證最小正周期為$m$的$f_0(x):=f(\alpha x)$與最小正周期為$n$的$g_0(x):=g(\alpha x)$之和$h_0(x)$的最小正周期為$mn$即可。

下面用反證。

若$mn$不是最小正周期。因為$m=n$，必然存在$a<mn$ 是 $h_0(x)$的最小正周期。那么$a$不可能整除$m$和$n$中的任何一個，否則，不妨假設$a$整除$m$，那么$m$是$h_0$的周期，也是$g_0=h_0?f_0$的周期。則$n$整除$m$，這和題設條件矛盾。
因此，$a$不能整除$m$和$n$，故而$a$不能整除$mn$（經網友 axiomofextension 提醒，此處證明有誤，故定理結論可能不對，修正定理見下方），這個和$a$是最小正周期且$mn$是周期矛盾。
得證。

修正后定理 （周期函數和的最小正周期，$m,n>1$）
設 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定義在 $\mathbb{R}$ 上的連續非常值最小正周期分別為 $T_1=n,T_2=m$ 的周期函數，這里
$$\mathrm{m},\mathrm{n}\in \mathrm{N},\mathrm{m},\mathrm{n}>1,(\mathrm{m},\mathrm{n})=1$$
且 $m$ 和 $n$ 中至少有一個不是質數，那么函數 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+g(x)$是周期函數，且最小正周期為$mn$。
證明：
不妨假設 $\frac{q}{p}$ 是最小正周期，且$(p,q)=1$。容易知道 $q$ 不能整除 $m$ 和 $n$ 當中的任意一個。否則，不妨設 $q$ 能整除 $m$，那么 $m$ 就是 $h$ 的周期，從而也是 $g$ 的周期， 那么 $n$ 就能整除 $m$，這個和兩者互質矛盾。
進而，我們不妨設 $q=m_1{n}_1,m=m_1{m}_2,n=n_1{n}_2$，且 $n_2>1$。由上結論知，$n_1$ 不能整除 $m_2$，$m_1$ 也不能整除 $n_2$。容易直達，$m{n}_1$ 是 $f$ 的周期，也是 $h$ 的周期，則它也是 $g$ 的周期。所以，$n_2$ 能整除 $m$，這和 $(m,n)=1$ 矛盾。

這里沒考慮 $\alpha$，當考慮 $\alpha$ 的時候也是類似的。任何一個周期函數可以通過適當的變量替換化為以指定的任一正實數為周期的周期函數。所以，當兩個周期函數的周期可通約時不妨設它們的周期都是自然數。

定理 （周期函數和的最小正周期，$m>1,n=1$）

設 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定義在 $\mathbb{R}$ 上的連續非常值最小正周期分別為 $T_1=n\alpha ,T_2=m\alpha$ 的周期函數，這里
$$\mathrm{m}\in \mathrm{N},\mathrm{m}>1,\mathrm{n}=1,\alpha \text{是正實數}$$
那么函數 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+g(x)$是周期函數，且最小正周期可能為$m\alpha$或者$\frac{\alpha m}{k}(k、m互相不整除)$。

證明：

只要證最小正周期為$m$的$f_0(x):=f(\alpha x)$與最小正周期為$1$的$g_0(x):=g(\alpha x)$之和$h_0(x)$的最小正周期只可能為$m$或者$\frac{m}{k}$即可。

只要證明在$k=1$的情況下，若$m$整除$k$或者$k$整除$m$，$m/k$都不可能是最小正周期即可。

若$s_1=m/k<m$ 為整數，那么它是$h_0$的周期，也是$g_0$的周期，那么它也是$f_0$的周期，它和$m$是$f_0$的最小正周期矛盾。

若$1/s_2=m/k$ ，其中$s_2$為整數，那么 1 本是$g_0$的周期，現也是$h_0$的周期，推得它也是$f_0$的周期，它和$m$是$f_0$的最小正周期且$m>1$矛盾。

定理 （周期函數和的最小正周期，$m=n=1$）

設 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定義在 $\mathbb{R}$ 上的連續非常值最小正周期分別為 $T_1=\alpha ,T_2=\alpha$ 的周期函數， 則函數 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(\mathrm{x})$的最小正周期為$\frac{\alpha }{k}$（$k$為某個確定的自然數，取到無窮說明最小正周期不存在，是常值函數）。

證明：
我們知道$\alpha$是$h$的一個周期，那么，最小正周期必為$\frac{\alpha }{k}$（$k$為某個確定的自然數）。$k$和$f$和$g$的具體情況有關，無法確定。

舉例如下圖：

從圖上可以看到，這是紅藍兩個函數在一個周期內的圖像，他們的周期都是 1，但是他們的和的后期就是$1/k$，圖中我的$k=5$，其實可以等于任意的值。它們和的周期為$\min \{1,|\frac{1}{k}|\}$。

我所用的 MATLAB 作圖代碼為：

clc clear k = 5; T = 1/k; x = 0:0.001:1; y0 = sin(2*k*pi.*x); y1 = y0; y2 = y0; y1(x>=0.5) = 0; y2(x<0.5) = 0; plot(x,y1,'red',x,y2,'blue','LineWidth',5); axis([0 1 -2 2]); h = legend('$f(x)$','$g(x)$'); set(h,'Interpreter','latex') title('The period of $f(x)$ and $g(x)$ is 1, but the period of $f+g$ is $1/k$','Interpreter','LaTex','FontSize',13)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的关于两个周期函数的和的周期性的讨论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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