一、隨機過程（Stochastic Process）：

1.定義：

設隨機實驗的樣本空間S={s}，如果對于每個s，有對應屬于參數集T的參數t的函數X(s,t)，那么對于所有的s，得到一組t的函數{X(s,t),t∈T}，這個t的函數族稱為隨機過程，簡記為X(s,t)或X(t)。

族中的每個函數稱為該過程的一個樣本，它是隨機過程一次試驗的物理實現，是一個確知的時間函數，稱為樣本函數或樣本曲線。

若固定某個觀察時刻t，此時X(s,t)是一個取決s的隨機變量，稱為在t時刻的狀態。

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2.舉例：

給出如下隨機過程的三個樣本函數：

其中A與w0是正常數，而φ服從在[0,2π]上的均勻分布：

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二、馬爾科夫過程與生滅過程：

1.馬爾科夫過程（Markov Process）與馬爾科夫鏈：

當已知隨機過程在時刻ti所處狀態的條件下，過程在時刻t（>ti）所處的狀態與過程在時刻ti以前的狀態無關，而僅與過程在ti所處的狀態有關，則稱該過程為馬爾科夫過程。這種特性稱為隨機過程的“無后效性”或馬爾科夫性。

馬爾科夫過程是隨機過程的一個子類，其按狀態空間G和參數集T是連續還是離散，可分為四類，其中有兩種：

T和G都取連續集時，稱為馬爾科夫過程；

T和G都取離散集時，稱為馬爾科夫鏈；

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2.生滅過程（Birth and death process）：

離散時間的生滅過程：是每一次狀態轉移都發生在相鄰狀態之間的齊次馬氏鏈。其狀態轉移矩陣P是一個夾層的矩陣，對于|i-j|>1有pij=0。

連續時間的生滅過程：一個連續時間，狀態空間S={0,1,2...}，為可數集的齊次馬爾科夫過程{X(t),T>=0}，稱為連續時間生滅過程。

（可數集：每個元素能與自然數集N的每個元素之間能建立一一對應的集合）

生滅過程是用來處理輸入為最簡單流（即泊松分布），服務時間為負指數分布這樣一類最簡單排隊模型的方法。

λn——系統處于瞬時狀態N(t)時單位時間內顧客的平均到達率

μn——系統處于瞬時狀態N(t)時單位時間內顧客的平均離去率（或服務率）

以下為一生滅過程的舉例及其推導，其有無限個狀態：

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三、排隊論簡述

什么是排隊論：

排隊論（queueing theory）是專門研究帶有隨機因素產生擁擠現象的優化理論，是有關于服務設施與被服務者構成的排隊服務系統的理論。

亦稱隨機服務系統理論。因為被服務者到達系統的時間是不確定的。

排隊論是計算機通信網絡和計算機系統中通信信息量研究的基礎理論，信息系統通信問題的定量研究往往要求借助于排隊論才能得到解決。

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典型排隊系統模型：

排隊系統的三個基本組成：

輸入過程：顧客按照怎樣的規律到達；

排隊規則：顧客按照什么樣的規則排隊等待服務；

服務規則：服務機構的設置，服務臺的數量，服務的方式，服務時間的分布等。

（1）輸入過程：

顧客到達的方式通常是一個給一個到達的，也可能是成批的。顧客到達總是有一定規律，即到達的過程或到達時間間隔符合一定的分布，稱到達分布。

顧客到達或到達時間通常假定為相互獨立的且遵從同一分布的隨機變量。

• 顧客來源：有限/無限
• 顧客數量：有限/無限
• 經常性的顧客來源：顧客到達間隔時間服從某一概率分布
• 顧客的行為假定：在未服務之前不會離開、當看到隊列很長的時候離開、從一個隊列移到另一個隊列

（2）隊列/排隊規則

• 隊列容量：有限/無限
• 排隊方式：單隊列、并聯式多隊列、串聯式多隊列、雜亂隊列

（3）服務規則

• 服務臺數量：單服務臺、多服務臺、無限服務臺
• 服務協議：FCFS、LCFS、RSS、PR、PS、IS
• 服務時間分布：指數、常熟、k階愛爾朗分布

服務協議：

（a）先來先服務：FCFS（First-Come-First-Served）

（b）后來后服務：LCFS（Last-Come-First-Served）隊列是一種堆棧形式，如果隊列中有兩個以上等待的顧客，則把最后到達的顧客作為下一個服務對象。

（c）隨機服務系統：RSS（Random Service System）在服務時從等待顧客中隨意抽取一個進行服務。

（d）優先服務和動態優先服務：PR（Priority Service）預先規定優先順序位的類別，且給到達顧客規定優先順序位作為標記的優先權。通常按照FCFS服務，優先權分為三類：排隊優先權、中斷優先權、動態優先權。如計算機中斷的優先級。

（e）處理器共享：PS（Processor Sharing）服務臺的處理能力被平均分配給隊列中的所有顧客，沒有排隊現象出現，當顧客的數量增加時，只是顧客的服務時間邊長。如：網絡服務系統。

（f）無限服務臺：IS（Infinite Server）在這種情況下，隊列中的每個顧客接收完全相同的服務，而且就好像它是唯一的一個顧客一樣。好像對于每個顧客都可以“克隆”出一個心得服務臺，而且克隆的數目可以無限。

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1.排隊系統的到達和服務

到達規律的描述

（1）主要描述參數

（a）到達時間：將某一時刻設為t0，顧客一次到達的時刻用..<=t-1<=t0<=t1<=t2<=...表示，若果在時刻tk到達的顧客為Nk，則到達的時點可用（tk，Nk）表示。

（b）平均到達間隔：一個顧客到達時刻之間的時寬為到達間隔。

（c）到達速率：單位時間到達顧客的平均數。

（2）到達規律：顧客到達的規律可用概率來描述，當前到達的顧客數的常見分布是泊松分布。

服務規律的描述

（1）主要描述參數

（a）平均服務時間：設服務時間的分布函數為F（t），則服務時間的平均表示為∫F(t)dt。

（b）服務速率μ：指平均服務速率，單位時間內被服務完的顧客數，即平均服務時間的倒數，μ=1/∫F(t)dt；

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（2）服務規律：即服務時間的分布，典型的有指數分布、愛爾郎分布、一般分布。

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2.經典排隊模型

其格式為： A/B/n/S/Z

A：顧客到達的規律；B：服務時間分布；n：服務臺數目；S：隊列容量的大小；Z：服務規程

若隊列容量大小為∞時，可簡化為A/B/n/Z

若還為先來先服務時，可簡化為A/B/n

其中A、B的分布可用以下字母表示：

M（Markov）：若描述到達（A），則表示泊松到達；若描述服務（B），則指具有指數分布的時間。

G（General）：一般分布。

Ek（Erlang）：表示到達間隔或服務間隔服從k階愛爾朗分布

還有D：定長分布（常數間隔）、H：超幾何分布、L：H項式分布

典型的Z有：FCFS、LCFS、PR、RSS

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3.基本排隊關系

由利特爾法則（Little's Law），有以下公式：

（1）Lq=λWq

Wq是一個顧客平均排隊等待的時間，λ是顧客平均到達率，所以在Wq時間內有λWq個顧客到達，Lq表示排隊等待服務的平均顧客數量，故Lq=λWq。

（2）L=λW

系統中的平均顧客數（L）（包括等待的和正在被服務的顧客）等于顧客的平均到達率（λ）乘以一個顧客在系統中花費的平均時間（W）。

（3）W=Wq+1/μ

一個顧客在系統中花費的時間（W），就是它等待的時間（Wq）加上被服務的時間（1/μ）。

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4.隊列分析的任務

隊列分析的基本任務是：

給出如下輸入信息（概率分布）：

到達速率（λ）、服務時間（1/μ）

求出如下輸出信息（均值、標準差）：

等待顧客的數量（Lq）、等待時間（Wq）、系統中顧客的數量（L）、逗留時間（W）

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四、幾個常用的排隊模型

1.排隊模型與生滅過程：

※如果用N(t)表示時刻t系統中的顧客數，則{N(t),t>=0}就構成了一個隨機過程。如果用“生”表示顧客的到達，“滅”表示顧客的離去，則對許多排隊過程來說，{N(t),t>=0}是一類特殊的隨機過程——生滅過程。

※服務臺忙的時間比率（服務強度）：顧客到達速率/服務速率，即ρ=λ/μ.

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2.M/M/1模型

（1）生滅過程模型：

為 "二、2.生滅過程”中的模型。

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根據連續生滅過程穩定的條件，要求ρ<1。有如下推導：

Pk表示在系統穩定狀態下，有k個顧客的概率。

其為服從參數為(1-ρ)的改進型幾何分布，根據幾何型分布可得其數字特征，即顧客數量的均值與方差：

均值L=E=ρ/(1-ρ)，方差D=ρ/(1-ρ)2

根據little定理，顧客平均花費時間W=L/λ=1/(μ(1-ρ))

因為W=Wq+1/μ，Wq=W-1/μ=ρ/(μ(1-ρ))

由little定理，Lq=λWq=ρ2/(1-ρ)

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（2）M/M/1系統運行指標：

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※系統中平均顧客數：L=ρ/(1-ρ)

※顧客在系統中平均等待時間：W=1/(μ(1-ρ))

※隊列中平均顧客數：Lq=ρ2/(1-ρ)

※顧客在隊列中平均等待時間：Wq=ρ/(μ(1-ρ))

（3）例題（均為M/M/1系統）：

①一條通信線路的帶寬是2000bps，該線路用來傳一個字符（8位bit），來自應用的要求是12000字符/分

求：等待被傳輸的平均字符數Lq與每個字符平均傳輸時間W。

解：設單位時間為秒，則μ=2000/8=250，λ=12000/60=200，則ρ=0.8

Lq=0.64/0.2=3.2，W=0.8/(250*0.2)=16ms

②一個書店平均每分鐘有3個顧客到達，正常情況有48個顧客在書店中，求每一個顧客在商店花費的平均時間。

解：設單位時間為分鐘，易知λ=3；因為L=48，得ρ=48/49，所以μ=49/16,；所以Wq=(48/49)/((49/16)*(1/49))≈15.6分

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3.M/M/c 隊列模型：

該隊列系統的顧客到達為泊松流，到達速率為λ，有并列的c個服務臺，每個服務臺的服務速率為μ，服務規則FCFS。所有服務臺共享一個公用的隊列。

由于每個服務臺工作是相互獨立的（無協作）且平均服務率相同，于是整服務系統的平均服務率為cμ(n>=c)或nμ(n<c)。

（1）生滅過程模型：

平衡條件：ρ=λ/cμ<1

有如下推導：

（2）運行指標

（3）例題（服從M/M/c）M/M/1與M/M/c的比較：

某銀行有3個出納員，每人平均每小時可服務12人，顧客的到達服從泊松分布，平均每小時到達30個人。求：

①三名出納員都忙的概率及該銀行的主要運行指標；

②若所有的顧客排成3隊，平均分攤到達人數（每隊每小時到達10人），計算主要運行指標；

③對比①②，得出什么結論？

解：

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的排队论简介的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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