排隊論

• 前言
• M/M/1型排隊系統
• • • 字母含義（不重要😂）
    • 服務過程為泊松過程
    • 服務時間的概率分布為指數分布
    • 關鍵參數推導1🤔
    • 關鍵參數推導2🤔

前言

本文章主要記錄了個人的學習情況，參考了通信網絡基礎（李建東、盛敏）和其他互聯網資料（文章圖片素材來來自于網絡)。
學習目的：理解M/M/1排隊論（不涉及泊松和指數分布的具體推導）

M/M/1型排隊系統

字母含義（不重要😂）

"A/B/C/D(缺省)"分別對應“到達過程的特征 / 服務時間的的概率分布 / 服務員數量 / 系統容量（缺省，默認為無窮大） ” 第一個M代表 無記憶的泊松過程 第二個M代表 指數分布 （此位置上的G（一般分布）和D（確定分布）） 第三個數字1代表 一個服務員

服務過程為泊松過程

泊松分布：單位時間內有n個客戶到達的概率（ $\lambda$是代表客戶的平均到達速率）
$$P_n=\frac{{\lambda }^n}{n!}{e}^{?\lambda }（1）$$

泊松過程：時間t內有X個客戶到達的概率
$$P_n(t)=\frac{(\lambda t{)}^n}{n!}{e}^{?\lambda t}（2）$$

服務時間的概率分布為指數分布

相繼到達的客戶之間的時間間隔T的分布情況（換句話說，相繼到達的客戶之間的時間間隔$?$時間T內有0個客戶到達。）
$$F(t)=P(T\le t)在時間t內有客戶到達的概率$$

$$P_0(t)=\frac{(\lambda t{)}^0}{0!}{e}^{?\lambda t}在時間t內沒有客戶到達的概率$$

$$F(t)=P(T\le t)=1?P_0(t)=1?e^{?\lambda t}（3）$$
對分布函數求導即可得到概率密度函數
$$p(t)=\lambda e^{?\lambda t}（4）$$

可以看出泊松過程描述了時間t內有X個客戶到達的概率，而指數分布描述了相繼到達的客戶之間的時間間隔T的概率。

關鍵參數推導1🤔

$$\lambda 是平均到達速率，\mu 是平均服務速率$$
由于指數分布的無記憶性，僅從概率分析的角度上看，我們可以把系統中的客戶數量當作系統狀態。當有客戶達到（離開）系統就轉移到下一個（上一個）狀態。

系統在穩定狀態下轉移符合$\lambda p_i=\mu p_{i+1}$(兩個方向的速率一致)， 帶入可得
$$\begin{gathered} p_1=\frac{\lambda }{\mu }{p}_0=\rho p_0 \\ {p}_2={(\frac{\lambda }{\mu })}^2{p}_0={\rho }^2{p}_0 \\ .... \\ {p}_n={(\frac{\lambda }{\mu })}^n{p}_0={\rho }^n{p}_0 \end{gathered}$$

現在的主要問題就是$p_0$怎么求？通過“$p_0+p_1+p_2...+p_n$總和1”這個條件可以得到下面的公式：
$$\sum _{n=0}^{\infty }{p}_n=\sum _{n=0}^{\infty }{\rho }^n{p}_0=1$$
上面的求和是等比公式的求和，經過簡單計算得出$p_0=1?\rho$。

關鍵參數推導2🤔

每個客戶的平均時延T（等待時間+處理時間）：
$$\begin{gathered} 首先確定店內客戶總人數N，N=\sum _{n=0}^{\infty }n{p}_n=(1?\rho )\sum _{n=0}^{\infty }n{\rho }^n=\frac{\rho }{1?\rho } \\ 通過little定理可以算出：T=\frac{N}{\lambda }=\frac{1}{\mu ?\lambda } \end{gathered}$$

每個用戶的平均等待時間W
$$\begin{gathered} W=每個客戶的平均時延T?處理時間\frac{1}{\mu } \\ W=T?\frac{1}{\mu }=\frac{\rho }{\mu ?\lambda } \end{gathered}$$

隊列中等待的平均客戶數量$W_q$
$$由little可得W_q=\lambda W=\frac{{\rho }^2}{\mu ?\lambda }$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的排队论学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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