排隊論模型

現實中的問題

生活生產中有很多排隊的場景

• 商店、超市等收款處排隊付款

• 車站、民航等售票處依次購買車船票

• 各種生產系統、存儲系統、運輸系統等一系列等待現象比比皆是

合理安排排隊，提高服務效率是一個值得研究的問題

排隊論的基本組成

排隊系統

現實中排隊的情況有很多種

一起排隊——分開服務——離開

分開排隊——分開服務——離開

一起排隊——服務——排隊——再服務——離開

分開排隊——分開服務——一起服務——分開服務——一起服務——離開

總結：

中間的服務系統是隨機的，因此可以把它看成是一個隨機系統

整個排隊流程可以看成

輸入——隨機服務系統——輸出

輸入

• 顧客總體（顧客源）數量可分為：有限/無限

• 顧客到來方式可能是一個一個也可能是成批

• 顧客到達間隔時間：到下一個顧客到達的時間 一般是服從某一概率分布（例如：指數分布）

• 顧客的行為假定為：在未服務之前不會離開；當看到隊列很長的時候離開；從一個隊列移到另一個隊列。

排隊規則

隊列容量可分為 有限/無限

排隊規則

• 先來先服務（FCFS）；

• 后來先服務（LCFS）；

• 隨機服務（RSS）；

• 有優先權的服務（PS）；

• 排隊模型中也用到服務中的 “一般規則（GD）” 它包括前三種排隊規則。

服務規則

• 服務機構可以有一個，也可以有多個；

• 對于多個服務臺可以是并列、串列、混合排列；

• 服務方式可以是一個或成批；

排隊模型的評價數量指標

平均隊長：排隊系統中顧客數的平均值，$L_s$，Line system

平均隊列長：排隊系統中等待服務的顧客數平均值，$L_q$，Line query

平均逗留時間：一個顧客在系統中停留的時間平均值，$W_s$，Wait System

平均等待時間：一個顧客在系統中排隊等待的時間平均值,$W_q$, Wait query

如何求數量指標

需要提前知道的數據

P_n(t)- 時刻t系統中顧客數為n的概率，若${\lim }_{t\to \infty }{P}_n(t)=P_n?$ 稱為穩態解(統計平衡狀態解)，此時系統穩定

$\lambda ?$平均到達率 單位時間內到達顧客的平均數，常用分作為時間單位

$\mu ?$ 平均服務率，單位時間內被服務顧客的平均數

$\rho =\lambda /\mu ?$ 服務強度：單位時間內的服務強度

其他數量指標(了解)

記號方案

X,Y的表示

X表示相繼到達時間間隔的分布，Y表示服務時間的分布，

X，Y取值有以下幾種情況：

• M一表示泊松過程或負指數分布；

• D-表示確定型分布；

• $E_k?$表示k階愛爾朗分布，

• G-表示一般服務時間分布；

• GI-表示一般相互獨立的時間間隔分布

其他記號的表示方式

Z一表示服務臺（員）個數-“1”則表示單個服務臺，“c”（c>1）表示多個服務臺。

A一表示系統中容量限額，或稱等待空間容量,有限為N，無限為\infty

B一表示顧客源數目，分有限與無限兩種，$\infty$一顧客源無限，此時一般$\infty$也可省略不寫。

C一表示服務規則，常用下列符號：

FCFS：表示先到先服務的排隊規則（省略時代表的是FCFS（先到先服務））

LCFS 表示后到先服務的排隊規則；

PR.表示優先權服務的排隊規則

隨機服務

排隊論模型

模型有很多種，只學最標準的，然后遞推

單服務臺模型分為3種

設系統輸入過程服從泊松流，服務時間服從負指數分布，單服務臺： （1）標準型：M/M/1/$\infty$/$\infty$/FCFS （M/M/1） （2）系統容量有限型：M/M/1/N/$\infty$（3）顧客源有限型：M/M/1/$\infty$/m

1.標準型：M/M/1型

此圖叫狀態轉移圖

穩態概率方程

根據0和n兩個狀態的流入/流出量建立穩態概率方程

流量=流速*面積

流速=$\lambda$或$\mu$

面積=穩定狀態$P_n$

此圖叫狀態轉移圖

求評價指標

解此方程可得

$P_1=\frac{\lambda }{\mu }?P_0$

$P_2=(\frac{\lambda }{\mu }{)}^2?P_0$

······由遞推關系

$P_n=(\frac{\lambda }{\mu }{)}^n?P_0令\frac{\lambda }{\mu }=\rho$，即平均到達率與平均服務率之比

由概率性質：$P_0\underset{n=0}{\stackrel{\infty }{\sum {\rho }^n}}=\frac{P_0}{1?\rho }=1$

所以

$P_0=1?\rho$，沒有人來的概率

$P_n=(1?\rho ){\rho }^n,n>1$, 來n個人的概率

這就是系統狀態為n的概率

代入$P_n$ 可得

平均隊長（包含正在被服務的那個顧客）

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平均隊列長（等待的平均顧客數）

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平均逗留時間（即顧客在系統中的時間期望）

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平均等待時間（即顧客等待時間的期望）

$W_q=W_s?\frac{1}{\mu }=\frac{\rho }{\mu ?\lambda }=\frac{\lambda }{\mu (\mu ?\lambda )}$

對應的lingo程序

model: lambda=4; mu=6;rho=lambda/mu; L_s=lambda/(mu-lambda); L_q=L_s-rho; W_s=L_s/lambda; W_q=L_q/lambda; end

評價指標間的關系

$\begin{array}{rl}& L_s=\lambda W_s{L}_q=\lambda W_q,\\ & L_s=L_q+\frac{\lambda }{\mu }\\ & W_s=W_q+\frac{1}{\mu }\end{array}$

這些關系式稱為Little公式.

只要求到兩個指標，其他指標也可以求到

例題

此時Z=2需要用別的公式

2.系統容量有限制：M/M/1/N/$\infty$型

服務人數的數量有限制，增加到一定數量后就不會增了

利用0，n，N，三點的流量關系（流入-流出）建立建立穩態概率方程

穩態概率方程

$?\begin{array}{l}\mu P_1=\lambda P_0\\ \mu P_{n+1}+\lambda P_{n?1}=(\lambda +\mu )P_n(1\le n\le N?1)\\ \mu P_N=\lambda P_{N?1}\end{array}$

注意至${\sum }_{n=0}^N{P}_n=1$由遞推關系得

系統狀態概率

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評價指標

（1）隊長:

$L_s={\sum }_{n=0}^{N}n{P}_n=\frac{1}{1?\rho }?\frac{(N+1){\rho }^{N+1}}{1?{\rho }^{N+1}},\rho \ne 1$

（2）隊列長: $L_q={\sum }_{n=1}^N(n?1)P_n=L_s?\left(1?P_0\right)$;

有效到達率 ${\lambda }_e$

$\lambda$ 表示系統的容量有空時的平均到達率，當系統滿員時則到達率為 0 , 因此有效到達率 ${\lambda }_e$表示有空時平均到達率 $\lambda$減去滿員后拒絕顧客的平均數 $\lambda P_N$, 即KaTeX parse error: {equation} can be used only in display mode.

有效服務強度 :

$\frac{{\lambda }_e}{\mu }=\lambda \frac{1?{\rho }^N}{1?{\rho }^{N+1}}\frac{\rho }{\lambda }=\frac{\rho ?{\rho }^{N+1}}{1?{\rho }^{N+1}}=1?P_0$

(3) 平均逗留時間:

$W_s=\frac{L_s}{{\lambda }_e}=\frac{L_s}{\lambda \left(1?P_0\right)}=\frac{L_q}{\lambda \left(1?P_N\right)}+\frac{1}{\mu }$

(4) 平均等待時間:

$W_q=\frac{L_q}{{\lambda }_e}=\frac{L_q}{\lambda \left(1?P_N\right)}=W_s?\frac{1}{\mu }$

3.顧客源為有限型：$M/M/1/\infty /m$型

相當于M/M/1/m/m型

概率穩態方程

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注意到 ${\sum }_{n=0}^m{P}_n=1$, 由遞推關系可得

系統狀態概率

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系統運行指標

$\begin{array}{rl}& L_s=\sum _{n=0}^{m}n{P}_n=m?\frac{u}{\lambda }\left(1?P_0\right),\\ & L_q=\sum _{n=1}^{\infty }(n?1)P_n=m?\frac{(\lambda +\mu )\left(1?P_0\right)}{\lambda }=L_s?\left(1?P_0\right).\\ & W_s=\frac{m}{\mu \left(1?P_0\right)}?\frac{1}{\lambda }.\\ & W_q=W_s?\frac{1}{\mu }\end{array}$

多服務臺模型

4.多服務臺標準型M/M/C型

顧客流為泊松流，平均到達率為A，各個服務臺的平均服務率是\mu，

則整個服務機構的平均服務率是$n\mu (n<c)或c\mu (n>c)$，令$\rho =\frac{\lambda }{c\mu }$，稱為系統服務強度 當$\rho >1$時，會出現排隊現象。

狀態轉移圖

穩態狀態方程

分別對0，1<n<c的n，n>c的n，三個狀態列方程

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解得

系統狀態概率

$P_0={\left[{\sum }_{k=0}^{c=1}\frac{1}{k!}{\left(\frac{\lambda }{\mu }\right)}^k+\frac{1}{c!}\frac{1}{1?\rho }{\left(\frac{\lambda }{\mu }\right)}^c\right]}^{?1}$,

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系統運行指標

系統運行指標: KaTeX parse error: {equation} can be used only in display mode.

5.系統容量有限制：$M/M/c/N/\infty$

狀態轉移圖

穩態狀態方程

分別對0，1<n<c的n(類比狀態4-1)，n>c的n(類比狀態4-2)**，N，四個狀態列方程

$\begin{array}{rl}& ?\begin{array}{l}\mu P_1=\lambda P_0\\ (n+1)\mu P_{n+1}+\lambda P_{n?1}=(\lambda +n\mu )P_n(1\le n\le c)\\ c\mu P_{n+1}+\lambda P_{n?1}=(\lambda +n\mu )P_n(c\le n<N?1)\\ \lambda P_{N?1}=c\mu P_N\end{array}\\ & \text{?其中?}\sum _{n=0}^N{P}_n=1,\text{?且?}\rho =\frac{\lambda }{c\mu }\le 1\end{array}$

系統狀態概率

由遞推關系可得系統狀態概率為: KaTeX parse error: {equation} can be used only in display mode.

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系統運行指標

$\begin{array}{rl}& L_s=L_q+c\rho \left(1?P_N\right),=\frac{{\lambda }_e}{\mu }\mid \text{?Little公式:?}{L}_s=L_q+\frac{\lambda }{\mu }\\ & L_q=\sum _{n=c+1}^N(n?c)P_N=\frac{(c\rho {)}^c\rho }{c!(1?\rho )2}{P}_0\left[1?{\rho }^{N?c}(1?\rho ){\rho }^{N?c}\right]\\ & W_s=W_q+\frac{1}{\mu }\\ & W_q=\frac{L_q}{\lambda \left(1?P_N\right)},\end{array}$

6.顧客源為有限型M/M/c/\infty/m$型（與上一種相比有效到達率不同）

狀態轉移圖

到達率是$(m?n)\lambda$

穩態狀態方程

分別對0，1<n<c的n(類比狀態4-1)，n>c的c(類比狀態4-2)**，m，四個狀態列方程

$\begin{array}{rl}& ?\begin{array}{l}\mu P_1=m\lambda P_0\\ (n+1)\mu P_{n+1}+[(m?n+1)\lambda P_{n?1}]=[(m?n)\lambda +n\mu )]P_n,(1\le n\le c)\\ c\mu P_{n+1}+(m?c+1)\lambda P_{n?1}=[(m?c)\lambda +c\mu )P_n,(c\le n<m?1)\\ \lambda P_{m?1}=c\mu P_m\end{array}\\ & \text{?其中?}\sum _{n=0}^N{P}_n=1,\text{?且?}\rho =\frac{\lambda }{c\mu }\le 1\end{array}$

系統狀態概率

由遞推關系可得系統狀態概率KaTeX parse error: {equation} can be used only in display mode.

系統數量指標

系統運行指標為:KaTeX parse error: {equation} can be used only in display mode.

例題再分析

排成兩隊——到達率 $\lambda$ 變成一半

一個隊兩個服務臺——C變成兩倍

會發現兩種情況的指標是不同的，排成一個隊更快

總結

以上是生活随笔為你收集整理的排队论模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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