排队论（Queuing Theory）
目錄
簡介
一、基本概念
1.1 排隊過程的一般表示
1.2 排隊系統的組成和特征
1.2.1 輸入過程
1.2.2 排隊規則
1.2.3 服務過程
1.3 排隊模型的符號表示
1.4 排隊系統的運行指標
二、 輸入過程與服務時間的分布
2.1 泊松流與指數分布
2.2 常用的幾種概率分布
2.2.1 連續型隨機變量分布
2.2.2 離散型隨機變量分布
三、 生滅過程
四、 M/M/s 等待制排隊模型
4.1 但服務臺模型
4.1.1 隊長的分布
4.1.2 幾個主要數量指標
4.1.3 忙期和閑期
4.3 多服務臺模型（?編輯）
十、 排隊模型的計算機模擬
10.1 確定隨機變量概率分布的常用方法
10.2 計算機模擬
簡介
排隊論起源于1909年丹麥電話工程師A.K.愛爾朗的工作，他對電話通過擁擠問題進行了研究。1917年，愛爾朗發表了他的著名文章——“自動電話交換中的概率論的幾個問題的解決”。排隊論已廣泛應用于軍事、運輸、維修、生產、服務、庫存、醫療衛生、教育、水利灌溉之類的問題，顯示了強大的生命力。
排隊是在日常生活中經常遇到的現象，如顧客到商店購買物品、病人到醫院看病常需要排隊。此時要求服務的數量超過服務機構（服務臺，服務員等）的容量。也就是說，到達的顧客不能立即得到服務，因而出現了排隊現象。這種現象不僅在個人日常生活中出現，電話局的占線問題，車站、碼頭等交通樞紐的車船堵塞喝疏導，故障機器的停機維修，水庫的存貯調節等，都是有形或無形的排隊現象。由于顧客到達喝服務時間的隨機性。可以說排隊現象幾乎是不可避免的。
排隊論也成為隨機服務系統理論，就是為解決上述問題而發展的一門學科。它研究的內容有下列三部分：
- 性態問題，即研究各種排隊系統的概率規律性，主要是研究隊長分布、等待時間分布和忙期分布，包括了瞬態和穩態兩種情形。
- 最優化問題，又分靜態最優和動態最優，前者指最優設計，后者指現有排隊系統的最優運營。
- 排隊系統的統計推斷，即判斷一個給定的排隊系統符合與哪種模型，以便根據排隊理論進行分析研究。
這里將介紹排隊論的一些基本知識，分析幾個常見的排隊模型。
一、基本概念
1.1 排隊過程的一般表示
?虛線包含的部分為排隊系統。
凡要求服務的對象統稱為顧客，為顧客服務的人或物稱為服務員，由顧客和服務員組成服務系統。
服務機構過小，一直不能滿足要求服務的顧客的需求；服務機構過大，相應消耗的財力和物力也增加。因此研究排隊模型的目的就是要在顧客需要和服務機構的規模之間進行權衡決策，使其達到合理的平衡。
1.2 排隊系統的組成和特征
一般的排隊過程都由輸入過程、排隊規則、服務過程三部分組成。
1.2.1 輸入過程
輸入過程是指顧客到來實踐的規律性，可能有以下幾種情況：
- 顧客源是有限還是無限
- 顧客是逐個到達還是成批到達
- 顧客達到是相互獨立還是相互影響
- 輸入過程是平穩還是非平穩。平穩輸入過程即顧客相繼到達的時間間隔分布，及其數學期望、方差等數字特征都與時間無關。
1.2.2 排隊規則
排隊規則指到達排隊系統的顧客按怎樣的規則排隊，可分為損失制，等待制和混合制三種。
- 損失制。當顧客到達時，所有的服務臺均被占用，顧客離去。
- 等待制。當顧客到達時，所有的服務臺均被占用，顧客排隊等待知道接受完服務。
- 混合制。介于損失制和等待制兩者之間。
1.2.3 服務過程
服務機構，單服務臺；多服務臺并聯，多服務臺串聯；混合型。
服務規則：
- 先到先服務，FCFS
- 后到先服務，LCFS
- 隨即服務，RAND
- 優先服務，PR
1.3 排隊模型的符號表示
排隊模型的一般表示方法，
- X代表顧客到達流或者顧客到達時間間隔的分布
- -(Markov)指數分布
- -確定型分布
- -k階愛爾朗Erlang分布
- G-一般服務時間分布
- GI-一般相互獨立的時間間隔分布
- Y代表服務時間的分布
- 表示的字母所代表的分布與X相同
- Z代表服務臺數目
- A代表系統容量限制
- B代表顧客源數目
- C代表服務規則
1.4 排隊系統的運行指標
平均隊長：指系統內的顧客數（包括正在被服務以及正在排隊的顧客）
平均排隊長：只指系統內正在排隊的顧客數
平均逗留時間：指顧客從進入排隊系統到離開排隊系統的時間，包括排隊時間和被服務時間
平均等待時間：指顧客排隊的時間
平均忙期：指顧客到達空閑機構起，到服務機構再次空閑的時間間隔長度的數學期望。
計算這些指標的基礎是表達系統狀態的概率，所謂系統的狀態即指系統中顧客數。如果系統中有n個顧客就說系統的狀態是n，它有如下幾種表示方法及其代表含義：
- 隊長沒有限制。
- ，隊長有限制，且最大數為N。
- ，損失制且服務臺個數為c時。
需注意排隊系統的狀態是時間t的函數，所以在時刻t、系統狀態為n的概率用表示。穩態，即與不隨時間t改變時，系統狀態記為
二、 輸入過程與服務時間的分布
排隊系統中的事件流包括顧客到達流和服務時間流，由于顧客到達的間隔時間和服務時間不可能是負值，因此分布是非負隨機變量的分布。常用的分布有泊松分布，確定型分布，指數分布和愛爾朗分布。
2.1 泊松流與指數分布
輸入過程是泊松流時，顧客相繼到達的時間間隔T必服從指數分布。詳細推到略去。
2.2 常用的幾種概率分布
2.2.1 連續型隨機變量分布
- 均勻分布
- 正態分布
- 指數分布
- Gamma分布
- Weibull分布
- Beta分布
2.2.2 離散型隨機變量分布
- 均勻分布
- Bernoulli分布
- Poisson分布
- 二項分布
三、 生滅過程
一類非常重要且廣泛存在的排隊系統時生滅過程排隊系統。生滅過程是一類特殊的隨機過程，在生物學、物理學、運籌學中有廣泛的應用。在排隊論中，如果表示在t時刻，系統中的顧客數，則就構成了一個隨機過程。如果用”生“代表示顧客的到來，”滅“表示顧客的離去。則對于許多排隊過程來說，就是一類特殊的隨機過程——生滅過程。
設為一個隨機過程。若的概率分布具有以下性質：
- 假設，則從時刻t起到下一個顧客到達時刻止的時間服從參數為的負指數分布，n=0,1,2...
- 假設，則從時刻t起到下一個顧客離去時刻止的時間服從參數為的負指數分布，n=0,1,2,...
- 同一時刻只有一個顧客到達或離去。
則稱為生滅過程。
四、 M/M/s 等待制排隊模型
4.1 但服務臺模型
表示顧客相機到達時間服從參數為的負指數分布，服務時間V服從參數為的負指數分布，系統空間無限，允許無限排隊，這是一類最簡單的排隊系統。
4.1.1 隊長的分布
記為系統達到平衡狀態后隊長的概率分布。記，并設其小于1（否則隊長無窮）。則隊長分布為
數據量是服務系統中至少有一個顧客的概率，也就是服務臺處于忙的狀態的概率，因而
也稱為服務強度，反映了系統繁忙的程度。?
4.1.2 幾個主要數量指標
由于隊長的概率分布已知，可以計算出該模型中的其他運行指標
平均隊長
平均排隊長
平均逗留時間
平均等待時間
顯然有，
4.1.3 忙期和閑期
平均忙期
平均閑期
4.3 多服務臺模型（）
設顧客單個到達，相機達到時間間隔服從參數為的負指數分布，系統中有s個服務臺，每個服務臺的服務時間相互獨立，且服從參數為的負指數分布。且為等待制，隊長無限長，等待時間無限。
記為系統達到平穩狀態后，隊長N的概率分布。
則隊長的分布為，其中，，稱為多服務臺系統的服務強度。
對于多服務臺系統，記為在系統顧客達到系統時需要等待的概率。
平均排隊長
平均隊長
平均逗留時間
平均排隊時間
十、 排隊模型的計算機模擬
10.1 確定隨機變量概率分布的常用方法
根據一般知識和經驗，假定概率分布的形式，然后由實際數據估計分布的參數。
直接由大量的實際數據作直方圖，得到經驗分布，再通過假設檢驗，擬合分布函數。
確實先驗知識以及實驗數據時，對于區間內變化的隨機變量，可選用beta分布和均勻分布。現根據經驗確定隨機變量的均值和頻率最高的數值，則beta分布最終端參數
10.2 計算機模擬
當排隊系統的到達間隔時間和服務時間的概率分布很復雜時，就需要使用隨機模擬法求解。
隨機模擬法要求事件能夠按歷史的概率分布規律出現。
?設a1表示生成的隨機數，a2表示到達的車輛，a3表示需要卸貨的車數，a4表示實際卸貨車數，a5表示推遲卸貨車數。
n=50000; %模擬50000天 m=2; a1=rand(n,1); %% 模擬實際達到的車數 a2=a1; a2(find(a1<0.23))=0; a2(find(a1>=0.2&&a1<0.53))=1; a2(find(a1>=0.53&&a1<0.83))=2; a2(find(a1>=0.83&&a1<0.93))=3; a2(find(a1>=0.93&&a1<0.98))=4; a2(find(a1>=0.98))=5;%% 模擬卸貨車數 a3=zeros(n,1); a4=a3; a5=a3; a3(1)=a2(1); if a3(1)<=ma4(1)=a3(1);a5(1)=0; else a4(1)=m;a5(1)=a2(1)-m; end for i=2:na3(i)=a2(i)+a5(i-1);if a3(i)<=ma4(i)=a3(i);a5(i)=0;elsea4(i)=m;a5(i)=a3(i)-m;end end %%求平均 a=[a1 a2 a3 a4 a5]; sum(a)/n;?
總結
以上是生活随笔為你收集整理的排队论（Queuing Theory）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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