經濟增長

第二章：索洛模型

基本的索羅模型

模型的假設

• 經濟體所生產消費的只有一種產品
  • 沒有貿易
• 技術是外生變量
  • 公司的可用技術不受公司研發等行為影響
• 個人儲蓄之占收入的一小部分

模型的建立

生產

$$Y=F(K,L)=K^{\alpha }{L}^{1?\alpha }$$
規模收益不變

廠商

利潤
$$\pi =K^{\alpha }{L}^{1?\alpha }?rK?wL$$
(r:利率、w:工資率)
公司利潤最大化的一階條件：
$$\frac{?\pi }{?L}=(1?\alpha )K^{\alpha }{L}^{?\alpha }?w=(1?\alpha )\frac{Y}{L}?w=0$$
$$\frac{?\pi }{?K}=\alpha K^{\alpha }{L}^{?\alpha }?r=\alpha \frac{Y}{K}?r=0$$

要素

因為
$$wL+rK=(1?\alpha )\frac{Y}{L}L+\alpha \frac{Y}{K}K=Y$$
所以
$$\pi =Y?rK?wK=0$$

要素權重

$$\frac{wL}{Y}=(1?\alpha )\frac{Y}{L}\frac{L}{Y}=1?\alpha$$
$$\frac{rK}{Y}=\alpha \frac{Y}{K}\frac{K}{Y}=\alpha$$

勞均產出

$$y=\frac{Y}{L}=\frac{K^{\alpha }{L}^{(1?\alpha )}}{L}=\frac{K^{\alpha }}{L^{\alpha }}=k^{\alpha }$$

資本積累

$$\dot{K}=sY?\delta K$$

?𝑠𝑌：總投資。總收入（𝑤𝐿+𝑟𝐾）等于總產出（𝑌）。我們假設工作和擁有資本的人們從他們的收入中存一小部分的錢0<𝑠<1。

?𝛿𝐾：折舊。現有資本的固定部分，0<𝛿<1.
資本增長率
$$\frac{\dot{K}}{K}=s\frac{Y}{K}?\delta$$

勞均資本

$$k=\frac{K}{L}$$
取對數求導得
$$\frac{\dot{k}}{k}=\frac{\dot{K}}{K}?\frac{\dot{L}}{L}=s\frac{Y}{K}?\delta ?\frac{\dot{L}}{L}$$

人口增長

$$L(t)=L(0)e^{nt}$$
對數求導
$$\frac{\dot{L}}{L}=n$$

索洛方程式

$$\frac{\dot{k}}{k}=s\frac{Y/L}{K/L}?\delta ?n=s\frac{y}{k}?\delta ?n$$
所以
$$\dot{k}=s{k}^{\alpha }?(\delta +n)k$$
這通常被稱為資本積累方程。

模型的求解

將內生變量用外生變量來表示

索洛圖

$$\dot{k}=sy?(n+\delta )k$$

兩條曲線的差額表示勞均資本的變化。該變化為正時，勞均資本增加，發生了資本深化，該變化為零時，實際資本存量還在增長，僅僅發生了資本擴張。

穩態的性質

穩態時，解得 $k^{?}={\frac{s}{n+\delta }}^{1/(1?\alpha )}$
所以 $y^{?}={\frac{s}{n+\delta }}^{\alpha /(1?\alpha )}$

經濟增長

將資本積累方程兩邊同時除以k，得到

$$\frac{\dot{k}}{k}=s{k}^{\alpha ?1}?(n?\delta )$$

兩條線之間的差距就是資本存量的增長率*$\frac{\dot{k}}{k}$* .

技術與索洛模型

模型的求解

為了產生人均收入的可持續增長，將技術進步引入到模型中來。設技術變量為A（勞動增強型技術進步），那么

$$Y=F(K,AL)=K^{\alpha }(AL{)}^{1?\alpha }$$

假設A的增長率為常數：$\frac{\dot{A}}{A}=g?A=A_0{e}^{gt}$

資本積累方程與前面一致：$\frac{\dot{K}}{K}=s\frac{Y}{K}?\delta$

生產函數 $y=k^{\alpha }{A}^{1?\alpha }$ 取對數求導 $\frac{\dot{y}}{y}=a\frac{\dot{k}}{k}+(1?\alpha )\frac{\dot{A}}{A}$

事實表明，$\frac{\dot{y}}{y}$為常數，那么$g_y=g_k=g$

也就是說，在索洛模型的均衡增長路徑中，勞均產出和勞均資本都是按照外生的技術變化率g增長的。在簡化的索洛模型中不存在技術進步，因此也就沒有勞均產出和勞均資本的長期增長。

帶技術的索洛圖

引入新的狀態變量：$\tilde{k}=K/AL=k/A$

因為k和A的增長率相同，所以它是個常數。

產出—技術比 $\tilde{y}=Y/AL=y/A={\tilde{k}}^{\alpha }$

$$\tilde{k}=\frac{K}{AL}?\frac{\dot{\tilde{k}}}{\tilde{k}}=\frac{K}{K}?\frac{\dot{A}}{A}?\frac{\dot{L}}{L}$$

而$\frac{\dot{K}}{K}=s\frac{Y/AL}{K/AL}?\delta =s\frac{\tilde{y}}{\tilde{k}}?\delta$，所以 $\frac{\tilde{k}}{k}=s\frac{\tilde{y}}{\tilde{k}}?\delta ?g?n$

即$\dot{\tilde{k}}=s\tilde{y}?(n+g+\delta )k$

求解穩態

當$\dot{\tilde{k}}=0$時，$\tilde{k}=(\frac{s}{n+g+\delta }{)}^{1/(1?\alpha )}$ $\tilde{y}=(\frac{s}{n+g+\delta }{)}^{\alpha /(1?\alpha )}$

將方程改寫為 $y^{?}(t)=A(t)(\frac{s}{n+g+\delta }{)}^{\alpha /(1?\alpha )}$

可以看到，均衡增長路徑上的勞均產出是由技術、投資率和人口增長率決定的。投資率或人口增長率的 變化影響勞均產出的長期水平，但不影響勞均產出的長期增長率。為了更清楚地看到這一點，我們來考慮一個簡單的例子。

提高投資率

$\frac{\dot{\tilde{k}}}{k}=s\frac{\tilde{y}}{\tilde{k}}?(\delta +g+n)$ $\frac{\dot{y}}{y}=\alpha \frac{\dot{k}}{k}+(1?\alpha )\frac{\dot{A}}{A}$

• 政策的變化并沒有長期的增長效應，索洛模型中政策的變化提高了增長率，但是只是短暫的沿著路徑抵達新的穩態。
• 政策的變化有水平效應，一個永久性的政策能夠永久性地提高或降低人均產出的水平。

模型的評估

我們來看一下索洛模型是如何回答經濟增長中的關鍵問題：

$Q1$:為什么我們如此富有而他們如此貧窮？

$A1$:投資多，人口增長率低，勞均資本高，提高了勞動生產率

$Q2$:為什么經濟呈現出持續增長？

$A2$:技術進步（抵消了資本邊際產出下降的趨勢）

$Q3$:為什么不同國家間的增長率是不同的？

$A3$:從他們的長期增長率來看，轉型動力使各國以不同的速度增長

增長核算

將產出的增長分為資本的增長、勞動的增長和技術的增長

假設增長函數$Y=B{K}^{\alpha }{L}^{1?\alpha }$ 那么$\frac{\dot{Y}}{Y}=\frac{\dot{B}}{B}+\frac{\dot{K}}{K}+(1?\alpha )\frac{\dot{L}}{L}$

$\frac{\dot{B}}{B}$通常被稱為全要素生產率

勞均產出的增長率：$y=B{k}^{\alpha }$ $\frac{\dot{y}}{y}=\frac{\dot{B}}{B}+\alpha \frac{\dot{k}}{k}$

勞均產出的增長率被分為勞均物質資本的貢獻和全要素生產率增長的貢獻。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的经济增长（二）索洛模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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