主要參考書目：

• 最優化方法及其應用/郭科，陳聆，魏友華.-北京：高等教育出版社,2007.7(2013.7重印)

1、基本原理

• 基本模型
  
• 解的概念
  由于優化目標是向量函數，無法直接比較大小，故引入序的概念：
  
  有了序的概念，接下來給出“最優”的概念：
  　
  絕對最優：
  　　若對于X?∈DX?∈D，如果對?X∈D?X∈D，都有F(X?)≤F(X)F(X?)≤F(X)，則稱X?X?為該多目標優化問題的絕對最優解。
  　
  Paerto最優：
  　　若對于X?∈DX?∈D，如果不存在X∈DX∈D，使得F(X)≤F(X?)F(X)≤F(X?)，則稱X?X?為該多目標優化問題的Paerto最優解，亦稱有效解。
  　　將Paerto最優解定義中的F(X)≤F(X?)F(X)≤F(X?)改為F(X)<F(X?)F(X)<F(X?)，則變為弱Paerto最優解，亦稱弱有效解的定義。
  　　可以看到（弱）Paerto最優是指解在“≤(<)≤(<)”意義下不可改進。
• 解的性質
  
• 絕對最優必有效。
• 有效必若有效。
• 各分量函數的最優解集的交是絕對最優解集。
• 各分量函數的最優解集包含于弱有效解集，且當絕對最優解集非空時，弱有效解集為各分量函數的最優解集的并。
  斜體部分證明：
  

2、評價函數法

• 基本原理
  構造h:Rn?R1h:Rn?R1，化多目標優化為單目標優化h(F(X))h(F(X))。
• 常用方法
  (1)理想點法
  　　先分別對目標函數的每一個分量進行優化，求得其最優值f?ifi?，并以此構造理想點F?F?，最后再以FF和F?F?的距離（或者其他何以反映廣義“距離”的量），即d(F(X),F?)d(F(X),F?)為目標函數。也就是
  h(F(X))=d(F(X),F?).h(F(X))=d(F(X),F?).
  　　距離的定義可以為
  　　　　d1(F(X),F?)={∑mi=1wi[fi(X)?f?i]p}1p,　　d2(F(X),F?)=max1≤i≤m(wi|fi(X)?f?i|)),　　d3(F(X),F?)={∑mi=1wi[fi(X)?f?if?i]p}1p.　　d1(F(X),F?)={∑i=1mwi[fi(X)?fi?]p}1p,d2(F(X),F?)=max1≤i≤m(wi|fi(X)?fi?|)),d3(F(X),F?)={∑i=1mwi[fi(X)?fi?fi?]p}1p.
  　　一般要求（其他方法的權值若無特殊說明，同樣需要滿足此條件。）：
  　　∑i=1mwi=1,wi≥0.∑i=1mwi=1,wi≥0.
  (2)極小極大法
  
  該方法有一個要求，即幾個目標函數的取值范圍應大致相同，否則整個尋優過程會被天然就很大的那個函數所主導。對于目標函數取值范圍不大相同的情況，往往可以通過除以一個代表函數取值范圍大小的特征量，使取值范圍都在0-1附近。（特征量的選取往往也需要考慮無量綱化的要求。）
  (3)乘除法
  該方法要求各目標函數均為正，不為正的話，可以通過處理變得全為正，比如：
  f′i=efi.fi′=efi.
  假設前ss個目標函數越小越好，后m?sm?s個目標函數越大越好，此時評價函數可以取為：
  h(F(X))=∏i=1s(fi(X))wi∏i=s+1m(fi(X))wi.h(F(X))=∏i=1s(fi(X))wi∏i=s+1m(fi(X))wi.
  求解該函數的最小值即可。
  (4)線性加權法
  構造目標函數：
  h(F(X))=∑i=1mwifi(x).h(F(X))=∑i=1mwifi(x).
  注意，使用該方法時應把各目標函數都化成統一求極大或者極小，最簡單的方法是通過添加負號實現。該方法還應注意各目標函數的取值范圍應該大致相同，必要時可做標準化處理。處理方法在極大極小法中提到過一些，
• 關于各方法求得的解的特點
  
• 判斷權重的基本方法
  有專家評級法，層次分析法，熵權法等。

3、分層求解法

即把目標函數分層不同層次，先優化第一層次，再把優化結果當做第二層的條件進行第二層優化，以此類推。

4、目標規劃法

決策者預先給定一個目標值：[f01,f02,?,f0m]T.[f10,f20,?,fm0]T.，在優化過程中考慮實際值與目標值的偏差：

∑i=1mwi|fi?f0i|∑i=1mwi|fi?fi0|
把問題轉化為使該函數最小的單目標優化。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最优化方法：八、多目标优化的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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