多目标优化之帕累托最优
帕累托最優
維基百科：帕累托最優是指資源分配的一種理想狀態。給定固有的一群人和可分配的資源，如果從一種分配狀態到另一種狀態的變化中，在沒有使任何人境況變壞的前提下，使得至少一個人變得更好，這就是帕累托改善。帕累托最優的狀態就是不可能再有更多的帕雷托改善的狀態；換句話說，不可能在不使任何其他人受損的情況下再改善某些人的境況。
多目標優化
多目標優化：此類問題很常見比如在購買汽車時降低成本，同時使舒適性最大化；在使車輛的燃料消耗和污染物排放最小化的同時將性能最大化，同時他還有一些條件約束。再者金融領域中，我們希望投入的資金少，風險小，并且獲得的利益最大，這就是一個三目標問題，但是掰著腳趾頭都知道同時達到這三個目標是不可能的，多目標優化就是給出他的一些列可能的選擇，然后用戶自己去評判想選誰
多目標優化問題數學模型一般可以寫成如下形式
{V?minf(x)=[f1(x),f2(x),...,fn(x)]Ts.t.x∈XX?Rm\left\{ \begin{aligned} V-min f(x)=[f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)]^{T} & \\ s.t. x\in X & \\ X \subset R^{m} \end{aligned} \right. ??????V?minf(x)=[f1?(x),f2?(x),...,fn?(x)]Ts.t.x∈XX?Rm??
f1(x),f2(x),...,fn(x)f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)f1?(x),f2?(x),...,fn?(x)表示n個目標函數，目標是都使之達到最小,X?RmX \subset R^{m}X?Rm是其變量的約束集合，可以理解為變量的取值范圍.
討論幾種重要術語
1.解A優于解B（解A強帕累托支配解B）
假設現在有兩個目標函數，解A對應的目標函數值都比解B對應的目標函數值好，則稱解A比解B優越，也可以叫做解A強帕累托支配解B
2.解A無差別于解B
同樣假設兩個目標函數，解A對應的一個目標函數值優于解B對應的一個目標函數值，但是解A對應的另一個目標函數值要差于解B對應的一個目標函數值，則稱解A無差別于解B。（A,B兩點嚴格意義上是非支配關系）
3.最優解
假設在設計空間中，解A對應的目標函數值優越其他任何解，則稱解A為最優解。如有一個x使兩個目標函數同時達到最小，但是前面也說過，實際生活中這種解是不可能存在的。真要存在就好了，由此提出了帕累托最優解。
4.帕累托最優解
同樣假設兩個目標函數，對于解A而言，在變量空間中找不到其他的解能夠優于解A（注意這里的優于一定要兩個目標函數值都優于A對應的函數值），那么解A就是帕累托最優解。因此對于多目標優化問題而言，帕累托最優解只是問題的一個可接受解，一般都存在多個帕累托最優解，這個時候就需要人們自己決策了。
5.帕累托最優前沿
所有的帕累托最優解構成帕累托最優解集，這些解經目標函數映射構成了該問題的Pareto最優前沿或Pareto前沿面，即帕累托最優解對應的目標函數值就是帕累托最優前沿。
對于兩個目標的問題，其Pareto最優前沿通常是條線。而對于多個目標，其Pareto最優前沿通常是一個超曲面。
直接上圖，淺顯易懂，對于一個變量，兩個目標函數：
參考文獻
1.帕累托最優-----維基百科
2.多目標優化之帕累托最優------黃含馳文章
3.多目標規劃問題的絕對最優解、有效解（帕累托最優解）和弱有效解（弱帕累托最優解）
4.多目標優化簡述-------C_Meng Github文章
總結
以上是生活随笔為你收集整理的多目标优化之帕累托最优的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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