多目標優化模型求解方案

文章目錄

• (1) 概念引入
• • 1.多目標優化模型
  • 2.支配
• (2) 多目標優化的傳統解法
• (3) 智能優化算法
• (3) matlab的智能優化算法
• • 1. 基本的兩個函數
  • 2. 例子
  • 3. 如果有三個目標

(1) 概念引入

1.多目標優化模型

• 數學模型(一般都轉化成最小問題)$$\begin{gathered} \min F(x)=(f_1(x),f_2(x),\dots ,f_m(x)) \\ s.t.x\in \Omega \end{gathered}$$
• 決策空間： $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$所在的空間 $\Omega$，其中 $\Omega =\{x\in R^n|g_i(x)\le 0,i=1,2,\dots ,p\}$。
• 目標空間：$m$維向量$F(x)$所在的空間。

2.支配

• 定義1：對最小化問題，一個向量 $u=(u_1,u_2,\dots ,u_w)$ 稱為支配(優于)另一個向量 $v=(v_1,v_2,\dots ,v_w)$，當且僅當 $u_i\le v_{i}i=1，2，?，m$ 且 $?j\in \{1，2,?,m\}，u_j<v_j。$
• 定義2：對于任意兩個自變量向量$x_1，x_2?\Omega$,如果下列條件成立：$$\begin{gathered} f_i(x_1)\le f_i(x_2),?i\in \{1,2,?,m\} \\ {f}_j(x_1)\le f_j(x_2),?j\in \{1,2,?,m\} \end{gathered}$$則稱 $x_1$ 支配 $x_2$。
• 定義3：
  • 如果 $Q$ 中沒有支配（優于）$x$ 的解，則稱 $x$ 是問題的一個Pareto最優解。
  • Pareto最優解的全體被稱作Pareto最優解集；Pareto最優解集在目標函數空間的像集稱為Pareto Front（Pareto前沿，陣（界）面）。

(2) 多目標優化的傳統解法

• 加權法
• 理想點法(TOPSIS)
• 分層序列法(就是每次先求出一個最優值，然后把這個最優值當作不等式限制)
  • 把 $m$ 個目標篇按重要程度排序。假定 $f_1(x)$ 最重要，$f_m(x)$ 最不重要。
  • 先求問題$$\begin{gathered} \min f_1(x) \\ s.t.x\in \Omega \end{gathered}$$ 的最優解 $x^{(1)}$ 及最優值 $f_1^{?}$。
  • 再求問題$$\begin{gathered} \min f_2(x) \\ s.t.x\in {\Omega }_1=\Omega \cap \{x|f_1(x)\le f_1^{?}\} \end{gathered}$$ 的最優解 $x^{(1)}$ 及最優值 $f_1^{?}$。
  • 重復上面的步驟。

(3) 智能優化算法

• 這里選取 NSGA-II 方法
• 算法簡介
  • 首先隨機產生種群規模為 $N$ 的初始種群 $P_t$，進化代數 $t=0$。
  • 開始循環，對 $P_t$ 進行交叉變異操作生成新種群 $Q_t$。
  • 取 $R_t=P_t\cup Q_t$。
  • 對 $R_t$ 進行非劣分類。
  • 按非劣等級從低到高選出 $N$ 個個體填充到 $P_{t+1}$ 中。
    • 獲取 $R_t$ 中的第一非劣等級個體集，判斷并決定該非劣等級能否全被新種群容納。如果能，將該非劣等級的所有個體填充到新種群中，繼續判斷下一非劣等級能否全被新種群容納。
    • 如此反復，直到不能容納該非劣等級的所有個體,假設為第 $i+1$ 級。對最后不能被完全容納的非劣組中的個體求其擁擠距離,并選擇分布最廣的個體填充滿新種群。
  • 重復
• 快速非支配排序方法
  • 首先不被任何點支配的點選出來，成為 $F_1$。
  • 把選出來的點支配的點的支配關系全部刪除，然后再看現在有哪些點不被任何點支配，成為 $F_2$.
• 擁擠距離$$d_i=\sum _{m=1}^M|f_m^{i+1}?f_m^{i?1}|$$
  • $d_i$ 表示第 $i$ 個個體的擁擠距離。
  • $i?1$ 和 $i+1$ 是個體 $i$ 沿著 $i$ 所在的Pareto Front Line 的兩邊鄰近的兩個個體。
  • $f_m^{i+1}$ 和 $f_m^{i?1}$ 分別表示 $i?1$ 和 $i+1$ 個個體第 $m$ 個目標函數值。(下面的圖$m=1,2$)

(3) matlab的智能優化算法

1. 基本的兩個函數

• 參數設置
  • options=gaoptimset('paretoFraction',0.3,'populationsize',100'generations',200,'stallGenLimit',200,'TolFun',1e-10,'PlotFcns',@gaplotpareto);
  • paretoFraction：最優個體系數這里設為0.3
  • populationsize：種群大小這里設為100
  • generations：最大進化代數這里設為200
  • stallGenLimit：停止代數這里設為200
  • TolFun：適應度函數偏差這里設為1e-10
  • gaplotpareto：繪制Pareto前沿
• 函數引用
  • [X,FVAL]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b, Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options))
  • fitnessfcn：函數句柄。
  • nvars：變量個數。
  • ub,lb：上下限。
  • A,b：線性不等式約束。
  • Aeq,beq：線性等式約束。

2. 例子

• 函數定義

%%這里定義該函數 function y=Fun(x) y(1)=x(1); y(2)=(1+x(2))/x(1);

• 進行計算

%%這里賦初值并且進行多目標優化的計算 fitnessfcn=@Fun; nvars=2; lb=[0.1,0]; ub=[1,5]; A=[-9,-1;-9,1]; b=[-6;-1]; Aeq=[]; beq=[]; options=gaoptimset('paretoFraction',0.4,'populationsize',200,'generations',300,'stallGenLimit',300,'TolFun',1e-10,'PlotFcns',@gaplotpareto); [x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)

• 結果

3. 如果有三個目標

• 可以先優化出來，得到 fval 然后用 scatter3 進行繪制。
• 對上面的問題增加條件 $$min{x}_1+x_2$$
• 增加 scatter3(fval(:,1),fval(:,2),fval(:,3))
• 得到結果

現在已經轉移到知乎，之后的文章會在知乎更新。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的多目标优化（智能算法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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