從勾股定理到坐標(biāo)

從數(shù)學(xué)上的垂直與乘法相照應(yīng)的關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)具有直角的幾何圖形會(huì)具有一些與算術(shù)相對(duì)應(yīng)的特殊性質(zhì)，這其中最重要的就是勾股定理——a^2+b^2=c^2。

這個(gè)小學(xué)必學(xué)的知識(shí)，其本質(zhì)來(lái)源于面積，下面這張圖可以清晰地讓人理解到底是為什么。

現(xiàn)在讓將勾股定理的方程稍加改造，得到一個(gè)二元方程：x^2+y^2=1^2

什么是方程？一方程其實(shí)就是關(guān)系的表征，比如上面這個(gè)方程，是用勾股定理改造出來(lái)的。所以我們同樣可以將它以二維平面面積的方式來(lái)理解。直角三角形其實(shí)就是長(zhǎng)方形的兩條邊與一條對(duì)角線，所以將x和y作為長(zhǎng)度來(lái)看，這個(gè)方程就可以解析成“在對(duì)角線長(zhǎng)度固定的情況下，所有滿足條件的長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)關(guān)系”。

把這些長(zhǎng)方形都畫出來(lái)，如果這些長(zhǎng)方形對(duì)角線的一端重合，那么另一端的點(diǎn)就會(huì)構(gòu)成一個(gè)弧形。在這個(gè)弧形中每個(gè)點(diǎn)到重合點(diǎn)的距離都為1，也就是所謂的圓，上面這個(gè)方程也就變成了圓的方程。

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通過(guò)上面的分析我們可以得到一個(gè)概念，那就是“坐標(biāo)”，用兩個(gè)邊長(zhǎng)去確定由它構(gòu)成的直角三角形的頂點(diǎn)。我們現(xiàn)在得到了兩個(gè)“參數(shù)”與一個(gè)“規(guī)律”，用它們組成的數(shù)學(xué)式子就是“方程”。

為什么要從二維升到三維

那么現(xiàn)在讓我們進(jìn)入三維世界吧，不過(guò)不是我們熟悉的那種進(jìn)入，而是從簡(jiǎn)單粗暴地直接把圓的方程進(jìn)行擴(kuò)展，把x^2+y^2=1^2變成x^2+y^2+z^2=1^2會(huì)得到什么呢？答案是球面的方程，這個(gè)方程的意思是：在立方體的對(duì)角線長(zhǎng)度為1的情況下，所有滿足條件的立方體相互間的邊長(zhǎng)關(guān)系。

數(shù)學(xué)家的操作——加一維

平方公式與立方公式。

ax十bX十cX十D=0。

這一方程公式，用任一自然整數(shù)代入，它的解一定是整數(shù)，這是確定無(wú)疑的。那么。

a^2十b^2=c^2

a^3十b^3十c^3=e^3。

而上面的平方公式和立方公式，甪任一自然整數(shù)代入，它的解就不一定是整數(shù)了。而有整數(shù)解的數(shù)只有很少一部分了。但代入怎樣的自然整數(shù)才能使它們成為整數(shù)。我們有。

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3^2十4^2=5^2=25。

3^3十4^3十5^3=6^3=2l6。

（2X3）^2十（2X4）^2=（2X5）^2=100。

（2x3）^3十（3x4）^3十（3X5）^3=（3X6）^3=1728。

（3x3）^2十（3x4）^2=（3X5）^2=225。

（3X3）^3十（3x4）^3十（3X5）^3=（3X6）^2=5832。

。。。。。。

由此可知：

3X^2十4X^2=5X^2

3X^3十4X^2十5X^3=6X^3。

就這樣，從平方整數(shù)解公式到立方解整數(shù)公式就這樣完成了。那么，這個(gè)立方整數(shù)解公式是一個(gè)什么樣的球呢？那只有請(qǐng)一個(gè)農(nóng)村老大娘給你用紙糊一個(gè)小朋友的錢罐子了。

所以對(duì)于勾股定理，有勾三股四弦五的說(shuō)法，那么，對(duì)于立方整數(shù)解的公式應(yīng)該有一個(gè)怎么樣的說(shuō)法呢。

好，到這兒為止都是我們可以輕松理解的東西，現(xiàn)在請(qǐng)你再看看圓與球的兩個(gè)方程，如果你是數(shù)學(xué)家，你是不是覺(jué)得似乎可以順?biāo)浦鄣卦僮鲆恍┦裁茨?#xff1f;

比如……再給它加個(gè)參數(shù)試試？整個(gè)x^2+y^2+z^2+w^2=1^2出來(lái)看看？

這個(gè)式子在算術(shù)上很好理解，四個(gè)參數(shù)，相互間滿足一定的關(guān)系。

但是根據(jù)之前方程可以依托面積或體積照射到現(xiàn)實(shí)世界中的規(guī)律來(lái)看，我們是不是也可以將這個(gè)方程畫出來(lái)呢？

不能……因?yàn)樵谖覀兩娴暮暧^世界，體積是空間的基本單位，不存在什么東西用三維無(wú)法描述，上文中強(qiáng)調(diào)的“存在先行”指出沒(méi)有需要的維度是沒(méi)有意義的，加入這個(gè)維度我們也找不到需要用它來(lái)描述的東西。

但是我們可以對(duì)其進(jìn)行想象與計(jì)算，在數(shù)學(xué)上它與二維或是三維是平等的，所以數(shù)學(xué)家們當(dāng)然不可能拒絕它。

這，就是所謂的四維空間。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的从勾股定理到立方公式的整数解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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