一、理論基礎

多目標優化問題可以描述如下：

????????其中，f(x) 為待優化的目標函數；x 為 待優化的變量；lb 和 ub 分別為變量 x 的下限和上限約束；Aeq * x = beq 為變量 x 的線性等式約束；A * x <= b 為變量 x 的線性不等式約束。

? ? ? ? 在上圖所示的優化問題中，目標函數 f1 和 f2 是相互矛盾的。因為 A1 < B1 且 A2 > B2，也就是說，某一個目標函數的提高需要以另一個目標函數的降低作為代價，稱這樣的解 A 和解 B 是非劣解，或者說是 Pareto 最優解。多目標優化算法的目的就是要尋找這些 Pareto 最優解。

? ? ? ??目前的多目標優化算法有很多，Kalyanmoy Deb 的帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法（nondominated sorting genetic algorithm II，NSGA- II）無疑是其中應用最為廣泛也是最為成功的一種。MATLAB R2009a 版本提供的函數 gamultiobj 所采用的算法就是基于 NSGA - II 改進的一種多目標優化算法（a variant of NSGA - II）。本案例將以函數 gamultiobj 為基礎，對基于遺傳算法的多目標優化算法進行詳細分析，并介紹函數gamultiobj的使用。
? ? ? ? 1、支配（dominnate）與非劣（non - inferior）
????????在多目標優化問題中，如果個體 p 至少有一個目標比個體 q 的好，而且個體 p 的所有目標都不比個體 q 的差，那么稱個體 p 支配個體 q（p dominates q），或者稱個體 q 受個體 p 支配（qis dominated by p），也可以說，個體 p 非劣于個體 q（p is non - inferior to q）。
? ? ? ? 2、序值（rank）和前端（front）
????????如果 p 支配 q，那么 p 的序值比 q 的低。如果 p 和 q 互不支配，或者說，?p 和 q 相互非劣，那么 p 和 q 有相同的序值。序值為 1 的個體屬于第一前端，序值為 2 的個體屬于第二前端，依次類推。顯然，在當前種群中，第一前端是完全不受支配的，第二前端受第一前端中個體的支配。這樣，通過排序，可以將種群中的個體分到不同的前端。
? ? ? ? 3、擁擠距離（crowding distance）
????????擁擠距離用來計算某前端中的某個體與該前端中其他個體之間的距離，用以表征個體間的擁擠程度。顯然，擁擠距離的值越大，個體間就越不擁擠，種群的多樣性就越好。需要指出的是，只有處于同一前端的個體間才需要計算擁擠距離，不同前端之間的個體計算擁擠距離是沒有意義的。
????????4、最優前端個體系數（ParetoFraction）
????????最優前端個體系數定義為最優前端中的個體在種群中所占的比例，即最優前端個體數 = min { ParetoFraction * 種群大小，前端中現存的個體數目 }，其取值范圍為 0～1。需要指出的是，ParetoFraction 的概念是函數 gamultiobj 所特有的，在 NSGA - II 中是沒有的，這也是為什么稱函數 gamultiobj 是一種多目標優化算法的原因。

二、案例簡述

1、問題描述

? ? ? ? 待優化的多目標問題表述如下：

?2、解題思路及步驟

? ? ? ? 這里將使用函數 gamultiobj 求解以上多目標優化問題。同函數 ga 的調用一樣，函數 gamultiobj 的調用方式也有兩種：GUI 方式和命令行方式。

? ? ? ? 通過 GUI 方式調用?gamultiobj

????????通過以下兩種方式可以調出函數 gamultiobj 的 GUI 界面：
? ? ? ? （1）在 MATLAB主界面上依次單擊 APPS→Optimization，在彈出的 Optimization Tool 對話框的 Solver 中選擇 “gamultiobj - Multiobjective optimization using Genetic Algorithm” 。
? ? ? ? （2）在 Command Window 中輸入：optimtool('gamultiobj') 命令
????????可以看到，函數 gamultiobj 的 GUI 界面與函數 ga 的 GUI 界面大致相同，僅在以下幾個方面存在區別：
? ? ? ? （1）前者比后者多了 Distance measure function 和 Pareto front population fraction 兩個參數。
? ? ? ? （2）前者比后者少了參數 Elite count，這是因為函數 gamultiobj 的精英是自動保留的；前者比后者少了 Scaling function，這是因為函數 gamultiobj 的選擇是基于序值和擁擠距離的，故不再需要 Scaling 的處理；函數 gamultiobj 沒有非線性約束。
? ? ? ? （3）繪圖函數不同及下列設置的默認值不同；種群大小（Population size）、選擇函數（Selection function）、交叉函數（Crossover function）最大進化代數（Generations）停止代數（Stall generations）適應度函數值偏差（Function tolerance）。

? ? ? ? 通過命令行方式調用函數 gamultiobj

? ? ? ? gamultiobj 的命令行調用格式為：

[x, fval] = gamultiobj(fitnessfcn, nvars, A, b, Aeq, beq, lb, ub, options)

? ? ? ? ?其中，x 為函數 gamultiobj 得到的 Pareto 解集；fval 為 x 對應的目標函數值；fitnessfcn 為目標函數句柄，同函數 ga 一樣，需要編寫一個描述目標函數的 M 文件；nvars 為變量數目；A、b、Aeq、beq 為線性約束，可以表示為 A * x?<= B，Aeq * x = beq；lb，ub為上、下限約束，可以表述為 lb <= x <= ub，當沒有約束時，用 “ [ ] ” 表示即可；options 中需要對多目標優化算法進行一些設置，即

options = gaoptimset('Param1', value1, 'Param2', value2, ... );

????????其中，Param1，Param2 等是需要設定的參數，如最優前端個體系數、擁擠距離計算函數、約束條件、終止條件等；valuel，value2 等是 Param 的具體值。Param 有專門的表述方式，如最優前端個體系數對應于 ParetoFraction，擁擠距離計算函數對應于 DistanceMeasureFcn 等。

三、MATLAB 程序實現

1、使用函數 gamultiobj 求解多目標優化問題

? ? ? ? （1）使用函數 gamultiobj 求解多目標優化問題的第一步是編寫目標函數的M文件。對于以上問題，函數名為my_first_multi，目標函數代碼如下：

function f = my_first_multi(x)f(1) = x(1)^4 - 10*x(1)^2+x(1)*x(2) + x(2)^4 - (x(1)^2)*(x(2)^2); f(2) = x(2)^4 - (x(1)^2)*(x(2)^2) + x(1)^4 + x(1)*x(2);

? ? ? ? （2）使用命令行方式調用 gamultiobj 函數，代碼如下：

clear clcfitnessfcn = @my_first_multi; % Function handle to the fitness function nvars = 2; % Number of decision variables lb = [-5,-5]; % Lower bound ub = [5,5]; % Upper bound A = []; b = []; % No linear inequality constraints Aeq = []; beq = []; % No linear equality constraints options = gaoptimset('ParetoFraction',0.3,'PopulationSize',100,'Generations',200,'StallGenLimit',200,'TolFun',1e-100,'PlotFcns',@gaplotpareto);[x,fval] = gamultiobj(fitnessfcn,nvars, A,b,Aeq,beq,lb,ub,options);

????????其中，fitnessfcn 即（1）中定義的目標函數 M 文件，設置的最優前端個體系數 ParetoFrac -tion 為 0.3，種群大小 PopulationSize 為 100，最大進化代數 Generations 為 200，停止代數StallGenLimit 也為 200，適應度函數值偏差 TolFun 為 le -?100，繪制 Pareto 前端。當然，也可以通過 GUI 方式調用函數 gamultiobj，其方法與函數 ga 的調用相同。

2、結果分析

????????可以看到，在基于遺傳算法的多目標優化算法的運行過程中，自動繪制了第一前端中個體的分布情況，且分布隨著算法進化一代而更新一次。當迭代停止后，得到如下圖所示的第一前端個體分布圖。

?????????同時，?Worksapce 中返回了函數 gamultiobj 得到的 Pareto 解集 x?及與 x 對應的目標函數值。需要說明的是，由于算法的初始種群是隨機產生的，因此每次運行的結果不一樣。
? ? ? ? 從上圖可以看到，第一前端的 Pareto 最優解分布均勻。返回的 Pareto 最優解個數為 30 個，而種群大小為 100，可見，ParetoFraction 為 0.3 的設置發揮了作用。另外，個體被限制在了 [ -5，5 ] 的上下限范圍內。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基于遗传算法的多目标优化算法（附代码案例）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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