Pareto理論

• 一、前言
• 二、Pareto相關(guān)概念
• • 2.1 Pareto解
  • 2.2 Pareto改進(jìn)
  • 2.3 Pareto最優(yōu)
  • 2.4 Pareto最優(yōu)集
  • 2.5 Pareto前沿面

一、前言

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帕累托最優(yōu)法則（Pareto Optimality），也稱為帕累托效率、帕累托改善，是博弈論中的重要概念，并且在經(jīng)濟(jì)學(xué)， 工程學(xué)和社會(huì)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。

二、Pareto相關(guān)概念

最近在學(xué)習(xí)多目標(biāo)優(yōu)化等NSGA-II相關(guān)算法，在多目標(biāo)優(yōu)化中，需要找到Pareto前沿面，關(guān)于Pareto前沿面以及解的選取后面會(huì)提到，奈何Pareto相關(guān)概念以及名詞解釋太多，故寫下這篇文章幫助理解。

2.1 Pareto解

Pareto解又稱非支配解或不受支配解，有多個(gè)目標(biāo)時(shí)，由于目標(biāo)之間的沖突和無(wú)法比較的現(xiàn)象，一個(gè)解在某個(gè)目標(biāo)上是最好的，在其他的目標(biāo)上可能是最差的，這些在改進(jìn)任何目標(biāo)函數(shù)的同時(shí)，必然會(huì)削弱至少一個(gè)其他目標(biāo)函數(shù)的解稱為非支配解或Pareto解。

2.2 Pareto改進(jìn)

Pareto改進(jìn)是指一種變化，在沒(méi)有使任何人境況變壞的前提下，使得至少一個(gè)人變得更好。一方面，帕累托最優(yōu)是指沒(méi)有進(jìn)行Pareto改進(jìn)的余地的狀態(tài)；另一方面，Pareto改進(jìn)是達(dá)到帕累托最優(yōu)的路徑和方法。
注意：此概念等價(jià)于弱Pareto最優(yōu)
引用知乎某位大佬的理解：多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的絕對(duì)最優(yōu)解、有效解（帕累托最優(yōu)解）和弱有效解（弱帕累托最優(yōu)解）

• 如圖所示：假設(shè)我們的優(yōu)化目標(biāo)最小化兩個(gè)函數(shù)的值，決策變量為橫坐標(biāo)x

注：圖中所示有誤，可以發(fā)現(xiàn)在x取[2,4]的時(shí)候，達(dá)到Pareto改進(jìn)。

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綜上所述，引用一句話，Pareto改進(jìn)可以理解為：“利己而不損人”，即保持某一個(gè)分量不變，其他分量可以持續(xù)減少”，在這個(gè)狀態(tài)下總效益還可以不斷增加，所以沒(méi)有達(dá)到強(qiáng)最優(yōu)解，直到“非損人而不能利己”之后，才算達(dá)到了帕累托最優(yōu)狀態(tài)。

2.3 Pareto最優(yōu)

Pareto最優(yōu)：從定義上講，帕累托最優(yōu)描述的是一種資源最優(yōu)化配置的狀態(tài)。在帕累托最優(yōu)的條件下，是沒(méi)有辦法在不讓某一參與資源分配的一方利益受損的情況下，令另一方獲得更大利益的。

舉例：拿打麻將的例子來(lái)闡述
比如一局四人麻將，什么情況下是Pareto最優(yōu)態(tài)？答案是每場(chǎng)游戲結(jié)束都是Pareto最優(yōu)？為什么這么說(shuō)呢？回到我們的定義，在帕累托最優(yōu)的條件下，是沒(méi)有辦法在不讓某一參與資源分配的一方利益受損的情況下，令另一方獲得更大利益的。我們假設(shè)每局麻將都是一人贏，其他人輸，在這種情況下，有什么好方法讓贏得人獲得更大利益，輸?shù)娜死娌皇軗p失嗎？答案顯然是沒(méi)有的，因?yàn)檫@就是游戲的規(guī)則，贏得人如果贏得更多，也以為著輸?shù)娜溯數(shù)亩?#xff0c;就好比如果每個(gè)輸家給贏家5元，這時(shí)候每個(gè)輸家利益（-5元），贏家利益（+15）。無(wú)論怎么改變這個(gè)值，都達(dá)不到讓贏家利益增加，輸家利益不受損。所以無(wú)論誰(shuí)贏誰(shuí)輸都是Pareto最優(yōu)。

另外注意：Pareto最優(yōu)解也可以有多個(gè)。比如上圖例子中綠色線標(biāo)出的一部分。無(wú)論決策變量取何值時(shí)，在這段區(qū)間上，都不可能使一個(gè)函數(shù)目標(biāo)值更小，且使其他函數(shù)目標(biāo)值不變或者更小。

2.4 Pareto最優(yōu)集

Pareto最優(yōu)集是一組目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的集合，剛剛講的區(qū)間就是一組Pareto最優(yōu)集

2.5 Pareto前沿面

Pareto前沿面是指最優(yōu)集在空間形成的曲面，一般而言優(yōu)化目標(biāo)是兩個(gè)函數(shù)時(shí)，形成一條線，優(yōu)化目標(biāo)是多個(gè)函數(shù)時(shí)，則會(huì)形成一個(gè)曲面，關(guān)于此部分的更深一步理解，可以參考：
CSDN博客：帕累托最優(yōu)解集

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以上就是Pareto所了解的相關(guān)概念，后續(xù)會(huì)學(xué)習(xí)介紹多目標(biāo)的相關(guān)算法。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的多目标优化（一）：Pareto理论相关概念解析的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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