多目标优化(一):Pareto理论相关概念解析
Pareto理論
- 一、前言
- 二、Pareto相關(guān)概念
- 2.1 Pareto解
- 2.2 Pareto改進(jìn)
- 2.3 Pareto最優(yōu)
- 2.4 Pareto最優(yōu)集
- 2.5 Pareto前沿面
一、前言
帕累托最優(yōu)法則(Pareto Optimality),也稱為帕累托效率、帕累托改善,是博弈論中的重要概念,并且在經(jīng)濟(jì)學(xué), 工程學(xué)和社會(huì)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。
二、Pareto相關(guān)概念
最近在學(xué)習(xí)多目標(biāo)優(yōu)化等NSGA-II相關(guān)算法,在多目標(biāo)優(yōu)化中,需要找到Pareto前沿面,關(guān)于Pareto前沿面以及解的選取后面會(huì)提到,奈何Pareto相關(guān)概念以及名詞解釋太多,故寫下這篇文章幫助理解。
2.1 Pareto解
Pareto解又稱非支配解或不受支配解,有多個(gè)目標(biāo)時(shí),由于目標(biāo)之間的沖突和無(wú)法比較的現(xiàn)象,一個(gè)解在某個(gè)目標(biāo)上是最好的,在其他的目標(biāo)上可能是最差的,這些在改進(jìn)任何目標(biāo)函數(shù)的同時(shí),必然會(huì)削弱至少一個(gè)其他目標(biāo)函數(shù)的解稱為非支配解或Pareto解。
2.2 Pareto改進(jìn)
Pareto改進(jìn)是指一種變化,在沒(méi)有使任何人境況變壞的前提下,使得至少一個(gè)人變得更好。一方面,帕累托最優(yōu)是指沒(méi)有進(jìn)行Pareto改進(jìn)的余地的狀態(tài);另一方面,Pareto改進(jìn)是達(dá)到帕累托最優(yōu)的路徑和方法。
注意:此概念等價(jià)于弱Pareto最優(yōu)
引用知乎某位大佬的理解:多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的絕對(duì)最優(yōu)解、有效解(帕累托最優(yōu)解)和弱有效解(弱帕累托最優(yōu)解)
- 如圖所示:假設(shè)我們的優(yōu)化目標(biāo)最小化兩個(gè)函數(shù)的值,決策變量為橫坐標(biāo)x
注:圖中所示有誤,可以發(fā)現(xiàn)在x取[2,4]的時(shí)候,達(dá)到Pareto改進(jìn)。
綜上所述,引用一句話,Pareto改進(jìn)可以理解為:“利己而不損人”,即保持某一個(gè)分量不變,其他分量可以持續(xù)減少”,在這個(gè)狀態(tài)下總效益還可以不斷增加,所以沒(méi)有達(dá)到強(qiáng)最優(yōu)解,直到“非損人而不能利己”之后,才算達(dá)到了帕累托最優(yōu)狀態(tài)。
2.3 Pareto最優(yōu)
Pareto最優(yōu):從定義上講,帕累托最優(yōu)描述的是一種資源最優(yōu)化配置的狀態(tài)。在帕累托最優(yōu)的條件下,是沒(méi)有辦法在不讓某一參與資源分配的一方利益受損的情況下,令另一方獲得更大利益的。
舉例:拿打麻將的例子來(lái)闡述
比如一局四人麻將,什么情況下是Pareto最優(yōu)態(tài)?答案是每場(chǎng)游戲結(jié)束都是Pareto最優(yōu)?為什么這么說(shuō)呢?回到我們的定義,在帕累托最優(yōu)的條件下,是沒(méi)有辦法在不讓某一參與資源分配的一方利益受損的情況下,令另一方獲得更大利益的。我們假設(shè)每局麻將都是一人贏,其他人輸,在這種情況下,有什么好方法讓贏得人獲得更大利益,輸?shù)娜死娌皇軗p失嗎?答案顯然是沒(méi)有的,因?yàn)檫@就是游戲的規(guī)則,贏得人如果贏得更多,也以為著輸?shù)娜溯數(shù)亩?#xff0c;就好比如果每個(gè)輸家給贏家5元,這時(shí)候每個(gè)輸家利益(-5元),贏家利益(+15)。無(wú)論怎么改變這個(gè)值,都達(dá)不到讓贏家利益增加,輸家利益不受損。所以無(wú)論誰(shuí)贏誰(shuí)輸都是Pareto最優(yōu)。
另外注意:Pareto最優(yōu)解也可以有多個(gè)。比如上圖例子中綠色線標(biāo)出的一部分。無(wú)論決策變量取何值時(shí),在這段區(qū)間上,都不可能使一個(gè)函數(shù)目標(biāo)值更小,且使其他函數(shù)目標(biāo)值不變或者更小。
2.4 Pareto最優(yōu)集
Pareto最優(yōu)集是一組目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的集合,剛剛講的區(qū)間就是一組Pareto最優(yōu)集
2.5 Pareto前沿面
Pareto前沿面是指最優(yōu)集在空間形成的曲面,一般而言優(yōu)化目標(biāo)是兩個(gè)函數(shù)時(shí),形成一條線,優(yōu)化目標(biāo)是多個(gè)函數(shù)時(shí),則會(huì)形成一個(gè)曲面,關(guān)于此部分的更深一步理解,可以參考:
CSDN博客:帕累托最優(yōu)解集
以上就是Pareto所了解的相關(guān)概念,后續(xù)會(huì)學(xué)習(xí)介紹多目標(biāo)的相關(guān)算法。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的多目标优化(一):Pareto理论相关概念解析的全部?jī)?nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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