• 插值型積分公式使用確定的節(jié)點(diǎn) $x_k|k=0,1,...,n$ 作為積分節(jié)點(diǎn) ，使用拉格朗日插值多項(xiàng)式 $L_n(x)$ 近似 $f(x)$ 從而進(jìn)行數(shù)值積分，這樣的積分公式至少具有 $n$ 階代數(shù)精度。
• Newton-Cotes公式是插值型公式中最具代表性的一種，它采用區(qū)間上的等分點(diǎn)作為積分節(jié)點(diǎn)，根據(jù)積分步長(zhǎng)的不同具體有梯形公式、Simpson公式與Cotes公式，偶次階牛頓柯特斯公式具有 $n+1$ 階代數(shù)精度，通常使用較多。
• 當(dāng)$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$$中積分系數(shù)全正時(shí)，積分公式是數(shù)值穩(wěn)定的，而Newton-Cotes公式在 $n=8$ 時(shí)就已經(jīng)出現(xiàn)負(fù)系數(shù)，因此通常選取 $n<8$ 的積分公式。但低階公式又存在步長(zhǎng)過(guò)長(zhǎng)、精度不足的缺點(diǎn)，于是引入復(fù)化求積策略，衍生出復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛普森公式以及復(fù)化柯特斯公式。
• 考察上述復(fù)化求積公式二分區(qū)間前后的積分值關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可以借助低階公式線性組合得到高階公式積分值，龍貝格算法就是將復(fù)化梯形積分值 $T_n$，逐步數(shù)值計(jì)算到復(fù)化辛普森值 $S_n$，復(fù)化柯特斯值 $C_n$，并最終得到Romberg值的加速收斂方法。
• 通過(guò)適當(dāng)選取積分節(jié)點(diǎn) $x_k|k=0,1,...,n$，可能使積分公式具有 $2n+1$ 階代數(shù)精度，這類公式稱為高斯型積分公式，這些節(jié)點(diǎn)稱為高斯型積分節(jié)點(diǎn)。

正文

• 帶權(quán)積分.
• 數(shù)值穩(wěn)定性.
• 積分余項(xiàng).
• 構(gòu)造高斯型積分公式.

帶權(quán)積分.

• 考慮帶權(quán)積分的插值型積分公式：$${\int }_a^b\rho (x)f(x)dx\approx \sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$$其中 $\rho (x)$ 是權(quán)函數(shù)，也稱為積分核。
• 權(quán)函數(shù) $\rho (x)$ 需要在積分區(qū)間 $[a,b]$ 上滿足 $\rho (x)\ge 0$，在 $(a,b)$ 內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，并且 $?i\in N,{\int }_a^b{x}^i\rho (x)dx<\infty .$
• 【$2n+1$ 定理】若以節(jié)點(diǎn) $a\le x_0<x_1<???<x_n\le b$ 為零點(diǎn)的 $n+1$ 次多項(xiàng)式 ${\omega }_{n+1}(x)={\prod }_{i=0}^n(x?x_i)$ 與次數(shù)不超過(guò) $n$ 的任意多項(xiàng)式函數(shù) $q(x)$ 帶權(quán)正交，即$${\int }_a^b\rho (x){\omega }_{n+1}(x)q(x)dx=0$$那么上述插值型積分公式至少具有 $2n+1$ 階代數(shù)精度，此時(shí) $$A_k={\int }_a^b\rho (x)l_k(x)dx$$$$l_k(x)=\prod _{j=0,j=k}^n\frac{x?x_j}{x_k?x_j}$$
• 【證明】$?f(x)\in P_{2n+1}$，現(xiàn)有 ${\omega }_{n+1}(x)$ 滿足$${\int }_a^b\rho (x){\omega }_{n+1}(x)q(x)dx=0$$根據(jù)多項(xiàng)式的次數(shù)關(guān)系，可以將$f(x)$ 表示為$$f(x)=q(x){\omega }_{n+1}(x)+m(x)$$因此$${\int }_a^b\rho (x)f(x)dx={\int }_a^b\rho (x){\omega }_{n+1}(x)q(x)dx+{\int }_a^b\rho (x)m(x)dx={\int }_a^b\rho (x)m(x)dx$$由于上述積分公式是插值型積分公式，至少具有 $n$ 階代數(shù)精度，因此對(duì)不超過(guò) $n$ 次多項(xiàng)式的 $m(x)$積分$$${\int }_a^b\rho (x)m(x)dx$$是準(zhǔn)確的，也即上述積分公式對(duì)于任意一個(gè) $2n+1$ 次多項(xiàng)式函數(shù) $f(x)$ 的積分是準(zhǔn)確的，至少具有 $2n+1$ 階代數(shù)精度。

實(shí)際上述公式僅有 $2n+1$ 次代數(shù)精度。

• 【證明】考慮 $2n+2$ 次多項(xiàng)式函數(shù) $h(x)={\omega }_{n+1}^2(x)\ge 0$，顯然 $h(x_k)=0.$ 因?yàn)楹瘮?shù) $\rho (x)\ge 0$，且 $\rho (x),h(x)$ 在區(qū)間 $(a,b)$ 上都只有有限個(gè)零點(diǎn)，因此積分$${\int }_a^b\rho (x)h(x)dx>0$$但積分公式$$\sum _{k=0}^n{A}_{k}h(x_k)=0$$因此上述積分公式對(duì)于 $2n+2$ 次多項(xiàng)式積分不準(zhǔn)確。

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• 【Summary】上面這種在區(qū)間 $[a,b]$ 選取 $n+1$ 個(gè)特殊節(jié)點(diǎn) $x_k|k=0,1,...,n$，并使得 ${\omega }_{n+1}(x)={\prod }_{k=0}^n(x?x_k)$ 關(guān)于任意 $n$ 次多項(xiàng)式 $q(x)$ 帶權(quán)正交，最終得到的具有 $2n+1$ 階代數(shù)精度的插值型積分公式，稱為Gauss積分公式。

數(shù)值穩(wěn)定性.

• 上面已經(jīng)證明了高斯型積分公式具有 $2n+1$ 階代數(shù)精度，因此它對(duì)于 $2n$ 次多項(xiàng)式 $l_k^2(x)$ 的積分是準(zhǔn)確的，也就是說(shuō)$${\int }_a^b\rho (x)l_k^2(x)dx=\sum _{i=0}^n{A}_i{l}_k^2(x_i)$$由于$l_k(x_i)={\delta }_{ki}$，因此上式右端為 $A_k$，因此$$A_k={\int }_a^b\rho (x)l_k^2(x)dx>0$$因此高斯型積分公式是數(shù)值穩(wěn)定的.

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• 根據(jù)定義$$A_k={\int }_a^b\rho (x)l_k(x)dx$$被積分函數(shù) $\rho (x)l_k(x)\ge 0$ 并且在 $(a,b)$ 零點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，因此積分值為正，即 $A_k>0.$

積分余項(xiàng).

• 設(shè) $f(x)\in C^{2n+2}[a,b]$，則高斯型積分公式余項(xiàng)：$$G_n(f)=\frac{f^{(2n+2)}(\eta )}{(2n+2)!}{\int }_a^b{\omega }_{n+1}^2(x)\rho (x)dx$$

$C^k[a,b]$ 是指在 $[a,b]$ 上直到 $k$ 階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)的函數(shù)的集合。

• 【證明】考慮Hermite插值，并對(duì)其兩端積分即可。

構(gòu)造高斯型積分公式.

• 【目標(biāo)】嘗試對(duì)下述定積分構(gòu)造兩點(diǎn)高斯積分公式：$${\int }_{?1}^1(1+x^2)f(x)dx$$
• 【思路】?jī)牲c(diǎn)高斯積分公式中 $n=1$，即公式寫為$$\sum _{k=0}^1{A}_{k}f(x_k)=A_{0}f(x_0)+A_{1}f(x_1)$$其中 $$A_k={\int }_{?1}^1(1+x^2)l_k(x)dx;k=0,1$$$$l_k(x)=\frac{{\omega }_2(x)}{(x?x_k){\omega }_2^{\prime }(x_k)};k=0,1$$設(shè) $${\omega }_2(x)=x^2?bx+c$$它需要與次數(shù)不超過(guò)一次的多項(xiàng)式帶權(quán) $1+x^2$ 正交，因此$${\int }_{?1}^1(1+x^2)(x^2?bx+c)dx=0=\frac{8}{3}c+\frac{16}{15}$$$${\int }_{?1}^1(1+x^2)(x^2?bx+c)x?dx=0=?\frac{16}{15}b$$解得 $b=0,c=?\frac{2}{5}$，所以$${\omega }_2(x)=x^2?\frac{2}{5}$$因此$$x_0=?\sqrt{\frac{2}{5}},x_1=\sqrt{\frac{2}{5}}$$所以$$l_0(x)=\frac{x^2?\frac{2}{5}}{?2\sqrt{\frac{2}{5}}?(x+\sqrt{\frac{2}{5}})},l_1(x)=\frac{x^2?\frac{2}{5}}{2\sqrt{\frac{2}{5}}?(x?\sqrt{\frac{2}{5}})}$$所以$$A_0={\int }_{?1}^1(1+x^2)\frac{x?\sqrt{\frac{2}{5}}}{?2\sqrt{\frac{2}{5}}}dx=\frac{4}{3}$$$$A_1={\int }_{?1}^1(1+x^2)\frac{x+\sqrt{\frac{2}{5}}}{2\sqrt{\frac{2}{5}}}dx=\frac{4}{3}$$綜上，待求高斯積分公式為$$G(f)=\frac{4}{3}[f(\sqrt{\frac{2}{5}})+f(?\sqrt{\frac{2}{5}})]$$

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• 上部分高斯積分公式中構(gòu)造正交多項(xiàng)式 ${\omega }_{n+1}(x)$ 過(guò)程極度復(fù)雜，只選用了 $n=1$ 的情況，具有三階代數(shù)精度。因此，想到對(duì)于一些特定的區(qū)間、特定的權(quán)函數(shù)，使用既有的標(biāo)準(zhǔn)正交多項(xiàng)式，例如在《正交多項(xiàng)式拾遺》中提及的勒讓德多項(xiàng)式、切比雪夫多項(xiàng)式等。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【NA】高斯型积分公式(一)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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