积分公式和常用方法总结
積分公式匯總
不定積分
不定積分的積分公式主要有如下幾類：含ax+b的積分、含√(a+bx)的積分、含有x^2±α^2的積分、含有ax^2+b(a>0)的積分、含有√(a2+x^2) (a>0)的積分、含有√(a^2-x^2) (a>0)的積分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的積分、含有三角函數的積分、含有反三角函數的積分、含有指數函數的積分、含有對數函數的積分、含有雙曲函數的積分。
含a+bx的積分
含有a+bx的積分公式主要有以下幾類：
含√(a+bx)的積分
含有√(a+bx)的積分公式主要包含有以下幾類：
含有x^2±α^2的積分
含有ax^2+b(a>0)的積分
含有√(a^2+x^2) (a>0)的積分
被積函數中含有√(a^2+x^2) (a>0)的積分有?：
含有√(a^2-x^2) (a>0)的積分
被積函數中含有√(a^2-x^2) (a>0)的積分有：
對于a2>x2有：
含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的積分
被積函數中含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的積分有
含有三角函數的積分
被積函數中含有三角函數的積分公式有：
含有反三角函數的積分
被積函數當中含有反三角函數的積分公式有：
含有指數函數的積分
被積函數當中包含有指數函數的積分公式
含有對數函數的積分
被積函數當中包含有對數函數的積分公式?
含有雙曲函數的積分
被積函數當中包含有雙曲函數的積分公式有
定積分
定積分公式有以下幾種
積分性質
?
通常意義上的積分都滿足一些基本的性質。以下積分區域
??
的在黎曼積分意義上表示一個區間，在勒貝格積分意義下表示一個可測集合。積分的性質有：線性性、保號性、極大值極小值、絕對連續性、絕對值積分等。
線性性
積分是線性的。如果一個函數f?可積，那么它乘以一個常數后仍然可積。如果函數f和g可積，那么它們的和與差也可積。
保號性
如果一個函數f在某個區間上黎曼可積，并且在此區間上大于等于零。那么它在這個區間上的積分也大于等于零。如果f勒貝格可積并且幾乎總是大于等于零，那么它的勒貝格積分也大于等于零。作為推論，如果兩個
??
上的可積函數f和g相比，f（幾乎）總是小于等于g，那么f的（勒貝格）積分也小于等于g的（勒貝格）積分。
如果黎曼可積的非負函數f在
??
上的積分等于0，那么除了有限個點以外，f = 0。如果勒貝格可積的非負函數f在
??
上的積分等于0，那么f幾乎處處為0。如果
??
中元素A的測度μ (A)等于0，那么任何可積函數在A上的積分等于0。
函數的積分表示了函數在某個區域上的整體性質，改變函數某點的取值不會改變它的積分值。對于黎曼可積的函數，改變有限個點的取值，其積分不變。對于勒貝格可積的函數，某個測度為0的集合上的函數值改變，不會影響它的積分值。如果兩個函數幾乎處處相同，那么它們的積分相同。如果對
??
中任意元素A，可積函數f在A上的積分總等于（大于等于）可積函數g在A上的積分，那么f幾乎處處等于（大于等于）g。?
分部積分法
?
分部積分法是微積分學中的一類重要的、基本的計算積分的方法。它的主要原理是利用兩個相乘函數的微分公式，將所要求的積分轉化為另外較為簡單的函數的積分。根據組成被積函數的基本函數類型，將分部積分的順序整理為口訣：“反對冪三指”。分別代指五類基本函數：反三角函數、對數函數、冪函數、三角函數、指數函數的積分。
分部積分公式推導
設
??
及
??
是兩個關于
??
的函數，各自具有連續導數
??
及
??
，則按照乘積函數求微分法則，則有
或者
對其兩邊進行積分，且因
??
的原函數是
??
，得
如果將
??
和
??
用微分形式寫出，則亦可得出
上兩式就表示出了分部積分法則。它把
??
的積分化為
??
的積分，也即分部積分的好處是，可將復雜的被積函數簡化為另一較易求得的函數積分。
例如，要求
??
，則依分部積分法則，令
如此
則按上述公式有
?
四種典型模式
編輯
一般地，從要求的積分式中將
??
湊成
??
是容易的，但通常有原則可依，也就是說不當的分部變換不僅不會使被積分式得到精簡，而且可能會更麻煩。分部積分法最重要之處就在于準確地選取
??
，因為一旦
??
確定，則公式中右邊第二項
?
中的
??
也隨之確定，但為了使式子得到精簡，如何選取
??
則要依
??
的復雜程度決定，也就是說，選取的
??
一定要使
??
比之前的形式更簡單或更有利于求得積分。依照經驗，可以得到下面四種典型的模式。??記憶模式口訣：反（函數）對（數函數）冪（函數）三（角函數）指（數函數）。
?
模式一
通過對
??
求微分后，
??
中的
??
比
??
更加簡潔，而
??
與
??
的類型相似或復雜程度相當。
例如，對于形如
??
的不定積分（其中
??
為
??
次多項式），由于對多項式求微分可以降次，且三角函數或指函數的積分則較容易求得，所以可以令
??
，而將另一個函數看成
?
通過分部求得積分。?
例如 求
?
首先，
?
對該式第二項再按此模式進行分部積分，得
故原式
?
模式二
通過對
??
求微分使得它的類型與
??
的類型相同或相近，然后將它們作為一個統一的函數來處理。例如對形如
??
等的積分，總是令
??
，則
??
則為一個
??
次的多項式，另一個函數（
??
等）看成
??
。通過分部積分，很容易求出不定積分。?
例如，求
?
而該式第二項為
故原積分式
?
模式三
利用有些函數經一次或二次求微分后不變的性質，通過一次或二次分部積分后，使等式右端再次產生
??
，只要它的系數不為1，就可以利用解方程的方法求出原積分
?
?
例如，對于積分
??
和
?
按法則對他們進行分部積分得
這樣，所求積分均由另一個積分所表示出來，將這兩式相加和相減（即解方程）得到所求積分表達式
以及
這兩個通用表達式就可以求出該類型的所有積分式，比如
模式四
對某些形如
??
的不定積分，利用分部積分可降低
??
的次數，求得遞推公式，然后再次利用遞推公式，求出
?
?
例如，對于積分
?
當
??
時，
?
當
??
時，
?
而該式的第二項又可變換為?
將其帶入上式，則得到
故
最后，得到統一的遞推關系式
定積分
編輯
與不定積分的分部積分法一樣，可得?
簡寫為
?
例如
?
示例
?
例1：
?
例2
回代即可得到
??
的值
換元積分法
換元積分法（Integration By Substitution）是求積分的一種方法，主要通過引進中間變量作變量替換使原式簡易，從而來求較復雜的不定積分。它是由鏈式法則和微積分基本定理推導而來的。
在計算函數導數時.復合函數是最常用的法則,把它反過來求不定積分，就是引進中間變量作變量替換，把一個被積表達式變成另一個被積表達式。從而把原來的被積表達式變成較簡易的不定積分這就是換元積分法。換元積分法有兩種，第一類換元積分法和第二類換元積分法。
兩種方法
?
第一類
第一類換元法,也稱為湊微分法，推導過程如下：
設
??
在
??
上有定義，
??
在
??
上可導，且
??
，
??
，并記
??
，
。若
??
在
??
上存在原函數
??
，則
??
在
??
上也存在原函數
??
，
??
，即
在使用時，也可把它寫成如下簡便形式：
使用這種方法的關鍵在于將
??
湊成
??
，以及
??
的原函數容易獲得，下面通過一個例子來講解：求
?
解：
第二類
設
??
在
??
上有定義，
??
在
??
上可導，且
??
，
??
，并記
??
，
。若
??
，
??
，則當
??
在
??
上存在原函數
??
時，
??
在
??
上也存在原函數
??
，且
??
，即
(其中 是
??
的反函數)[2]?
此時觀察這兩類換元法的定理公式,發現它們是互相可逆的。
例子
編輯計算積分
??
。
其中
??
換元為
??
后，
??
亦變為
??
，是因為其形式為黎曼－斯蒂爾杰斯積分，但在黎曼－斯蒂爾杰斯積分中變數的取值范圍應該還是x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的积分公式和常用方法总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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