本文給出基于兩種統(tǒng)計(jì)量的假設(shè)檢驗(yàn)，來(lái)檢驗(yàn)變量間是否獨(dú)立--χ²與秩和。χ²越小說(shuō)明越獨(dú)立

假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)（Test of Hypothesis）又稱為顯著性檢驗(yàn)（Test of Ststistical Significance）。

在抽樣研究中，由于樣本所來(lái)自的總體其參數(shù)是未知的，只能根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)其所來(lái)自總體的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，如果要比較兩個(gè)或幾個(gè)總體的參數(shù)是否相同，也只能分別從這些總體中抽取樣本，根據(jù)這些樣本的統(tǒng)計(jì)量作出統(tǒng)計(jì)推斷，籍此比較總體參數(shù)是否相同。由于存在抽樣誤差，總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計(jì)量并不恰好相同，因此判斷兩個(gè)或多個(gè)總體參數(shù)是否相同是一件很困難的事情。

?

基本的解決方法是：根據(jù)問(wèn)題的需要對(duì)所研究的總體作某種假設(shè)，記作H0；選取合適的統(tǒng)計(jì)量，這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的選取要使得在假設(shè)H0成立時(shí)，其分布為已知；由實(shí)測(cè)的樣本，計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值，并根據(jù)預(yù)先給定的顯著性水平進(jìn)行檢驗(yàn)，作出拒絕或接受假設(shè)H0的判斷。常用的假設(shè)檢驗(yàn)方法有u—檢驗(yàn)法、t—檢驗(yàn)法、χ²檢驗(yàn)法、F—檢驗(yàn)法，秩和檢驗(yàn)等。

χ²獨(dú)立性檢

χ²檢驗(yàn)是一種無(wú)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。

考慮這以一個(gè)問(wèn)題：某地區(qū)有10000合法選民，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了男性和女性分別有多少人參加了投票。

?

Men Women _____________________________ Voted 2792 3591 Didn't vote 1486 2131

問(wèn)“性別”和“投票”是不是相互獨(dú)立的？

下面就使用假設(shè)檢驗(yàn)的方法解決這個(gè)問(wèn)題。

我們假設(shè)H_0：性別和投票相互獨(dú)立。備選假設(shè)H₁：性別與投票相關(guān)。

計(jì)算上表的行和與列和。

OBSERVED TABLEMen Women Total _____________________________ |______ Voted 2792 3591 | 6383 Didn't vote 1486 2131 | 3617 _____________________________________ Total 4278 5722 | 10000

原始表中的數(shù)據(jù)用A_ij表示，行和用A_i·表示，列和用A_·j表示，全部元素的和用A_··表示。

投票的概率：

選民為男性的概率：

在H₀下，我們認(rèn)為投票與性別無(wú)關(guān)，所以男性參加投票的概率為：

這樣可以算出男性投票的期望值：0.2731×10000=2731。于是就得到了下面這張“期望表”

EXPECTED TABLEMen Women Total _____________________________ |______ Voted 2731 3652 | 6383 Didn't vote 1547 2070 | 3617 _____________________________________ Total 4278 5722 | 10000

觀察值與期望值的差值為誤差。對(duì)于每一個(gè)觀察值我們計(jì)算誤差的平方與期望值的比值。

c11 = (2792-2731)^2/2731
c12 = (3591-3652)^2/3652
c21 = (1486-1547)^2/1547
c22 = (2131-2070)^2/2070

χ²=c11+c12+c21+c22=6.584283457

定義自由度為(rows-1)*(cols-1)，在我們的例子中自由度為1。

查表：

Degrees offreedom 99% ... 10% 5% 1% _____________________________________________________ 1 0.00016 2.71 3.84 6.64 2 0.020 4.60 5.99 9.21

由于χ²介于3.84和6.64之間，所以P值介于5%和1%之間，也就是說(shuō)我們接收假設(shè)H₀的把握還不到5%，因此拒絕它。

最后給出CHI-Square獨(dú)立檢測(cè)的公式：

自由度，r表示行數(shù)，c表示列數(shù)

期望值，n_r是行和，n_c是列和，n是所有元素的和

統(tǒng)計(jì)量，O_r,c是觀察值

由（3）式可以推出，對(duì)于一個(gè)2×2的contigency table，χ²統(tǒng)計(jì)量可以由（4）式來(lái)計(jì)算。

?

?Variable 2	? ?Data type 1	? ?Data type 2	? ?Totals
?Category 1	? ?a	? b	? a + b
?Category 2	? ?c	? d	? c + d
?Total	? a + c	? b + d	? a + b + c + d = N

基于χ²的特征項(xiàng)選擇

既然χ²統(tǒng)計(jì)量可以獨(dú)立性檢驗(yàn)，從獨(dú)立性檢驗(yàn)的對(duì)立面來(lái)考慮，χ²統(tǒng)計(jì)量也可以用來(lái)作相關(guān)性的度量。χ²越小說(shuō)明變量之間越獨(dú)立，χ²越大說(shuō)明變量之間越相關(guān)。

?	文檔類別Cj	Cj的補(bǔ)集
詞條w	a	b
w的補(bǔ)集	c	d

a表示詞條w在類別C_j中出現(xiàn)的頻數(shù)；b表示詞條w在C_j以外的其他類別中出現(xiàn)的頻數(shù)；c表示除w以外的其他詞條在C_j中出現(xiàn)的頻數(shù)；d表示除w以外的其他詞條在除C_j外的類別中出現(xiàn)的頻數(shù)。

利用公式（4）計(jì)算每個(gè)詞條對(duì)于每種分類的χ²統(tǒng)計(jì)量，記為χ²(w,C_j)。說(shuō)明詞條與分類正相關(guān)；說(shuō)明詞條與分類負(fù)相關(guān)。

則詞條對(duì)整個(gè)語(yǔ)料庫(kù)的記χ²值為

根據(jù)（5）式計(jì)算每個(gè)詞條的平均χ²值，選最大的K個(gè)作為特征項(xiàng)。

秩和檢驗(yàn)

秩和檢驗(yàn)也是一種無(wú)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。它從兩個(gè)未知分布的總體中獨(dú)立、隨機(jī)地抽取容量分別為n1、n2的樣本，設(shè)n1<n2。然后把兩個(gè)樣本混合在一起進(jìn)行排序，得到每個(gè)樣本單位的秩次。當(dāng)幾個(gè)數(shù)據(jù)的大小相同秩次卻不相同時(shí)，最終的秩次取其算術(shù)平均。?

數(shù)據(jù)：	5	6	6	7	7	8	8	9	10	10	11
秩號(hào)：	1	2.5	2.5	4.5	4.5	6.5	6.5	8	9.5	9.5	11

紅顏色的數(shù)據(jù)來(lái)自一個(gè)總體，黑顏色的來(lái)自另一個(gè)總體。n1=5,n2=6。

原假設(shè)：兩個(gè)總體服從相同的分布。

備選假設(shè)：兩個(gè)總體服從不同的分布。

總體Ⅰ的秩和???T=2.5+4.5+6.5+6.5+9.5=29.5

取顯著水平α=0.05，進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)，查“秩和檢驗(yàn)表”，n1=5，n2=6，得臨界值T1(α)=20，T2(α )=40。 20<29.5<40，樣本落入接受域，所以接受原假設(shè)。?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的基于卡方的独立性检验的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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