大部分程序員由于理工科的背景，有一些高數(shù)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。所以當(dāng)機(jī)器學(xué)習(xí)的熱潮來臨的時(shí)候，都躍躍欲試，對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)的算法以及背后的數(shù)學(xué)思想有比較強(qiáng)烈的探索欲望。

本文的作者就是其中的一位。然而實(shí)踐的過程中，又發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解深度有些欠缺，在理解一些公式背后的意義時(shí)，有些力不從心的感覺。因此梳理了一些數(shù)學(xué)上的知識(shí)盲點(diǎn)，理順自己的知識(shí)脈絡(luò)，順便分享給有需要的人。

本文主要講解余弦相似度的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。相似度計(jì)算用途相當(dāng)廣泛，是搜索引擎、推薦引擎、分類聚類等業(yè)務(wù)場(chǎng)景的核心點(diǎn)。為了理解清楚余弦相似度的來龍去脈，我將會(huì)從最簡(jiǎn)單的初中數(shù)學(xué)入手，逐步推導(dǎo)出余弦公式。然后基于余弦公式串講一些實(shí)踐的例子。

一、業(yè)務(wù)背景

通常我們?nèi)粘ｉ_發(fā)中，可能會(huì)遇到如下的業(yè)務(wù)場(chǎng)景。

精準(zhǔn)營(yíng)銷，圖像處理，搜索引擎 這三個(gè)看似風(fēng)馬牛不相及的業(yè)務(wù)場(chǎng)景，其實(shí)面臨一個(gè)共同的問題就是相似度的計(jì)算。例如精準(zhǔn)營(yíng)銷中的人群擴(kuò)量涉及用戶相似度的計(jì)算；圖像分類問題涉及圖像相似度的計(jì)算，搜索引擎涉及查詢?cè)~和文檔的相似度計(jì)算。相似度計(jì)算中，可能由于《數(shù)學(xué)之美》的影響，大家最熟悉的應(yīng)該是余弦相似度。那么余弦相似度是怎么推導(dǎo)出來的呢？

二、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

理解余弦相似度，要從理解金字塔開始。我們知道金字塔的底座是一個(gè)巨大的正方形。例如吉薩大金字塔的邊長(zhǎng)超過230m。構(gòu)造這樣一個(gè)巨大的正方形，如何保證構(gòu)造出來的圖形不走樣呢？比如如何確保構(gòu)造的結(jié)果不是菱形或者梯形。

1、勾股定理

要保證構(gòu)造出來的四邊形是正方形，需要保證兩個(gè)點(diǎn)：其一是四邊形的邊長(zhǎng)相等；其二是四邊形的角是直角。四邊形的邊長(zhǎng)相等很容易解決，在工程實(shí)踐中，取一根定長(zhǎng)的繩子作為邊長(zhǎng)就可以了。如何保障直角呢？古人是利用勾股定理解決的，更切確地說是勾股定理的逆定理。

構(gòu)造一個(gè)三角形，保證三角形的三邊長(zhǎng)分別是3,4,5。那么邊長(zhǎng)為5的邊對(duì)應(yīng)的角為直角。中國(guó)有個(gè)成語“無規(guī)矩不成方圓”，其中的矩，就是直角的尺。

勾股證明是初中數(shù)學(xué)的知識(shí)，理解很容易。證明也很簡(jiǎn)單，據(jù)說愛因斯坦11歲就發(fā)現(xiàn)了一種證明方法。勾股定理的證明方法據(jù)統(tǒng)計(jì)有超過400種， 感興趣的同學(xué)可以自行了解。另勾股定理也是費(fèi)馬大定理的靈感來源，費(fèi)馬大定理困擾了世間智者300多年，也誕生了很多的逸聞趣事，這里不贅述。

2、余弦定理

勾股定理存在著一個(gè)很大的限制，就是要求三角形必須是直角三角形。那么對(duì)于普通的三角形，三個(gè)邊存在什么樣的關(guān)系呢？這就引出了余弦定理。

余弦定理指出了任意三角形三邊的關(guān)系，也是初中就可以理解的數(shù)學(xué)知識(shí)，證明也比較簡(jiǎn)單，這里就略過了。

其實(shí)對(duì)于三角形，理解了勾股定理和余弦定理。就已經(jīng)掌握了三角形的很多特性和秘密了。比如根據(jù)等邊三角形，可以推導(dǎo)出cos(60)=1/2。但是如果想理解幾何更多的秘密，就需要進(jìn)入解析幾何的世界。這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)也不算很高深，高中數(shù)學(xué)知識(shí)。

這里我們理解最簡(jiǎn)單就可以了，那就是三角形在直角坐標(biāo)系中的表示。所謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，我們可以理解為三角形的另一種表現(xiàn)形式。

比如我們可以用a,b,c三個(gè)邊描述一個(gè)三角形；在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以用兩個(gè)向量表示一個(gè)三角形。

3、余弦相似度

當(dāng)我們引入了直角坐標(biāo)系后，三角形的表示就進(jìn)入了更靈活、更強(qiáng)大和更抽象的境界了。幾何圖形可以用代數(shù)的方法來計(jì)算，代數(shù)可以用幾何圖形形象化表示，大大降低理解難度。比如我們用一個(gè)向量來表示三角形的一個(gè)邊，就可以從二維空間直接擴(kuò)展到高維空間。

這里，向量的定義跟點(diǎn)是一樣的；向量的乘法也只是各個(gè)維度值相乘累加；向量的長(zhǎng)度看似是新的東西，其實(shí)繞了一個(gè)圈，本質(zhì)上還是勾股定理，只是勾股定理從二維空間擴(kuò)展到了N維空間而已。而且向量長(zhǎng)度又是兩個(gè)相同向量乘法的特例。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性在這里體現(xiàn)得淋漓盡致。

結(jié)合勾股定理，余弦定理，直角坐標(biāo)系，向量。我們就可以很自然地推導(dǎo)出余弦公式了，這里唯一的理解難點(diǎn)就是勾股定理和余弦定理都是用向量來表示。

得到了余弦公式后，我們?cè)撛趺蠢斫庥嘞夜侥?#xff1f;

極端情況下，兩個(gè)向量重合了，就代表兩個(gè)向量完全相似。然而這里的完全相似，其實(shí)是指向量的方向。向量有方向和長(zhǎng)度兩個(gè)要素，這里只使用方向這一個(gè)要素，在實(shí)踐中就埋下了隱患。但是畢竟一個(gè)數(shù)學(xué)模型建立起來了。我們可以用這個(gè)模型解決一些實(shí)際中的問題了。

所謂數(shù)學(xué)模型，有可能并不需要高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)外的表現(xiàn)也僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)公式。比如余弦定理這個(gè)數(shù)學(xué)模型，高中數(shù)學(xué)知識(shí)就足夠理解了。而且關(guān)于模型，有這樣一個(gè)很有意思的論述：“所有的數(shù)學(xué)模型都是錯(cuò)的，但是有些是有用的”。這里我們更多關(guān)注其有用的一面。

理解了向量夾角，那么該怎么理解向量呢？它僅僅是三角形的一條邊嗎？

人生有幾何，萬物皆向量。向量在數(shù)學(xué)上是簡(jiǎn)單的抽象，這個(gè)抽象我們可以用太多實(shí)際的場(chǎng)景來使它落地。比如用向量來指代用戶標(biāo)簽，用向量來指代顏色，用向量來指代搜索引擎的邏輯...

三、業(yè)務(wù)實(shí)踐

理解了余弦定理，理解了數(shù)學(xué)建模的方式。接下來我們就可以做一些有意思的事情了。比如前面提到的三個(gè)業(yè)務(wù)場(chǎng)景，我們可以看看如何用余弦相似度來解決。當(dāng)然實(shí)際問題肯定遠(yuǎn)遠(yuǎn)要復(fù)雜得多，但是核心的思想都是類似的。

案例1：精準(zhǔn)營(yíng)銷

假設(shè)一次運(yùn)營(yíng)計(jì)劃，比如我們?nèi)Χ?w的用戶，如何擴(kuò)展到10萬人呢？

利用余弦相似度，我們這里其實(shí)最核心的問題就是：如何將用戶向量化？

將每個(gè)用戶視為一個(gè)向量，用戶的每個(gè)標(biāo)簽值視為向量的一個(gè)維度。當(dāng)然這里實(shí)際工程中還有特征歸一化，特征加權(quán)等細(xì)節(jié)。我們這里僅作為演示，不陷入到細(xì)節(jié)中。

對(duì)于人群，我們可以取人群中，所有用戶維度值的平均值，作為人群向量。這樣處理后，就可以使用余弦公式計(jì)算用戶的相似度了。

我們通過計(jì)算大盤用戶中每個(gè)用戶跟圈定人群的相似度，取topN即可實(shí)現(xiàn)人群的擴(kuò)量。

直接“show me the code”吧！

# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy as np

import numpy.linalg as linalg

def cos_similarity(v1, v2):

num = float(np.dot(v1.T, v2)) # 若為行向量則 A.T * B

denom = linalg.norm(v1) * linalg.norm(v2)

if denom > 0:

cos = num / denom # 余弦值

sim = 0.5 + 0.5 * cos # 歸一化

return sim

return 0

if __name__ == ‘__main__‘:

u_tag_list = [

["女", "26", "是", "白領(lǐng)"],

["女", "35", "是", "白領(lǐng)"],

["女", "30", "是", "白領(lǐng)"],

["女", "22", "是", "白領(lǐng)"],

["女", "20", "是", "白領(lǐng)"]

]

new_user = ["女", "20", "是", "白領(lǐng)"]

u_tag_vector = np.array([

[1, 26, 1, 1],

[1, 35, 1, 1],

[1, 30, 1, 1],

[1, 22, 1, 1],

[1, 20, 1, 1]

])

c1 = u_tag_vector[0]

c1 += u_tag_vector[1]

c1 += u_tag_vector[2]

c1 += u_tag_vector[3]

c1 += u_tag_vector[4]

c1 = c1/5

new_user_v1 = np.array([1, 36, 1, 1])

new_user_v2 = np.array([-1, 20, 0, 1])

print("vector-u1: ", list(map(lambda x: ‘%.2f‘ % x, new_user_v1.tolist()[0:10])))

print("vector-u2: ", list(map(lambda x: ‘%.2f‘ % x, new_user_v2.tolist()[0:10])))

print("vector-c1: ", list(map(lambda x: ‘%.2f‘ % x, c1.tolist()[0:10])))

print("sim: ", cos_similarity(c1, new_user_v1))

print("sim: ", cos_similarity(c1, new_user_v2))

案例2：圖像分類

有兩類圖片，美食和萌寵。對(duì)于新的圖片，如何自動(dòng)分類呢？

這里我們的核心問題是：圖片如何向量化？

圖片由像素構(gòu)成，每個(gè)像素有RGB三個(gè)通道。由于像素粒度太細(xì)，將圖片分割成大小相對(duì)的格子，每個(gè)格子定義3個(gè)維度，維度值取格子內(nèi)像素均值。

下面也是給出樣例代碼:

# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy as np

import numpy.linalg as linalg

import cv2

def cos_similarity(v1, v2):

num = float(np.dot(v1.T, v2)) # 若為行向量則 A.T * B

denom = linalg.norm(v1) * linalg.norm(v2)

if denom > 0:

cos = num / denom # 余弦值

sim = 0.5 + 0.5 * cos # 歸一化

return sim

return 0

def build_image_vector(im):

"""

:param im:

:return:

"""

im_vector = []

im2 = cv2.resize(im, (500, 300))

w = im2.shape[1]

h = im2.shape[0]

h_step = 30

w_step = 50

for i in range(0, w, w_step):

for j in range(0, h, h_step):

each = im2[j:j+h_step, i:i+w_step]

b, g, r = each[:, :, 0], each[:, :, 1], each[:, :, 2]

im_vector.append(np.mean(b))

im_vector.append(np.mean(g))

im_vector.append(np.mean(r))

return np.array(im_vector)

def show(imm):

imm2 = cv2.resize(imm, (510, 300))

print(imm2.shape)

imm3 = imm2[0:50, 0:30]

cv2.imshow("aa", imm3)

cv2.waitKey()

cv2.destroyAllWindows()

imm4 = imm2[51:100, 0:30]

cv2.imshow("bb", imm4)

cv2.waitKey()

cv2.destroyAllWindows()

imm2.fill(0)

def build_image_collection_vector(p_name):

path = "D:\python-workspace\cos-similarity\images\"

c1_vector = np.zeros(300)

for pic in p_name:

imm = cv2.imread(path + pic)

each_v = build_image_vector(imm)

a=list(map(lambda x:‘%.2f‘ % x, each_v.tolist()[0:10]))

print("p1: ", a)

c1_vector += each_v

return c1_vector/len(p_name)

if __name__ == ‘__main__‘:

v1 = build_image_collection_vector(["food1.jpg", "food2.jpg", "food3.jpg"])

v2 = build_image_collection_vector(["pet1.jpg", "pet2.jpg", "pet3.jpg"])

im = cv2.imread("D:\python-workspace\cos-similarity\images\pet4.jpg")

v3 = build_image_vector(im)

print("v1,v3:", cos_similarity(v1,v3))

print("v2,v3:", cos_similarity(v2,v3))

a = list(map(lambda x: ‘%.2f‘ % x, v3.tolist()[0:10]))

print("p1: ", a)

im2 = cv2.imread("D:\python-workspace\cos-similarity\images\food4.jpg")

v4 = build_image_vector(im2)

print("v1,v4:", cos_similarity(v1, v4))

print("v2,v4:", cos_similarity(v2, v4))

至于代碼中用到的圖片，用戶可以自行收集即可。筆者也是直接從搜索引擎中截取的。程序計(jì)算的結(jié)果也是很直觀的，V2(萌寵)跟圖像D1的相似度為0.956626，比V1(美食)跟圖像D1的相似度0.942010更高，所以結(jié)果也是很明確的。

案例3：文本檢索

假設(shè)有三個(gè)文檔，描述的內(nèi)容如下。一個(gè)是疫情背景下，蘋果公司的資訊，另外兩個(gè)是水果相關(guān)的信息。輸入搜索詞“蘋果是我最喜歡的水果”，? 該怎么找到最相關(guān)的文檔？

這里的核心問題也是文本和搜索詞如何向量化？

這里其實(shí)可以把搜索詞也視為文檔，這樣問題就簡(jiǎn)化成：文檔如何向量化？

出于簡(jiǎn)化問題的角度，我們可以給出最簡(jiǎn)單的答案:文檔由詞組成，每個(gè)詞作為一個(gè)維度；文檔中詞出現(xiàn)的頻率作為維度值。

當(dāng)然，實(shí)際操作時(shí)我們維度值的計(jì)算會(huì)更復(fù)雜一些，比如用TF-IDF。這里用詞頻(TF)并不影響演示效果，所以我們從簡(jiǎn)。

將文本向量化后，剩下也是依樣畫葫蘆，用余弦公式計(jì)算相似度, 流程如下：

最后，給出代碼：

# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy as np

import numpy.linalg as linalg

import jieba

def cos_similarity(v1, v2):

num = float(np.dot(v1.T, v2)) # 若為行向量則 A.T * B

denom = linalg.norm(v1) * linalg.norm(v2)

if denom > 0:

cos = num / denom # 余弦值

sim = 0.5 + 0.5 * cos # 歸一化

return sim

return 0

def build_doc_tf_vector(doc_list):

num = 0

doc_seg_list = []

word_dic = {}

for d in doc_list:

seg_list = jieba.cut(d, cut_all=False)

seg_filterd = filter(lambda x: len(x)>1, seg_list)

w_list = []

for w in seg_filterd:

w_list.append(w)

if w not in word_dic:

word_dic[w] = num

num+=1

doc_seg_list.append(w_list)

print(word_dic)

doc_vec = []

for d in doc_seg_list:

vi = [0] * len(word_dic)

for w in d:

vi[word_dic[w]] += 1

doc_vec.append(np.array(vi))

print(vi[0:40])

return doc_vec, word_dic

def build_query_tf_vector(query, word_dic):

seg_list = jieba.cut(query, cut_all=False)

vi = [0] * len(word_dic)

for w in seg_list:

if w in word_dic:

vi[word_dic[w]] += 1

return vi

if __name__ == ‘__main__‘:

doc_list = [

"""

受全球疫情影響，3月蘋果宣布關(guān)閉除大中華區(qū)之外數(shù)百家全球門店，其龐大的供應(yīng)鏈體系也受到?jīng)_擊，

盡管目前富士康等代工廠已經(jīng)開足馬力恢復(fù)生產(chǎn)，但相比之前產(chǎn)能依然受限。中國(guó)是iPhone生產(chǎn)的大本營(yíng)，

為了轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)，iPhone零部件能否實(shí)現(xiàn)印度制造？實(shí)現(xiàn)印度生產(chǎn)的最大難點(diǎn)就是，相對(duì)中國(guó)，印度制造業(yè)仍然欠發(fā)達(dá)

""",

"""

蘋果是一種低熱量的水果，每100克產(chǎn)生大約60千卡左右的熱量。蘋果中營(yíng)養(yǎng)成分可溶性大，容易被人體吸收，故有“活水”之稱。

它有利于溶解硫元素，使皮膚潤(rùn)滑柔嫩。

""",

"""

在生活當(dāng)中，香蕉是一種很常見的水果，一年四季都能吃得著，因其肉質(zhì)香甜軟糯，且營(yíng)養(yǎng)價(jià)值高，所以深受老百姓的喜愛。

那么香蕉有什么具體的功效，你了解嗎？

"""

]

query = "蘋果是我喜歡的水果"

doc_vector, word_dic = build_doc_tf_vector(doc_list)

query_vector = build_query_tf_vector(query, word_dic)

print(query_vector[0:35])

for i, doc in enumerate(doc_vector):

si = cos_similarity(doc, query_vector)

print("doc", i, ":", si)

我們檢索排序的結(jié)果如下：

文檔D2是相似度最高的，符合我們的預(yù)期。這里我們用最簡(jiǎn)單的方法，實(shí)現(xiàn)了一個(gè)搜索打分排序的樣例，雖然它并沒有實(shí)用價(jià)值，但是演示出了搜索引擎的工作原理。

四、超越余弦

前面通過簡(jiǎn)單的3個(gè)案例，演示了余弦定理的用法，但是沒有完全釋放出余弦定理的洪荒之力。接下來展示一下工業(yè)級(jí)的系統(tǒng)中是如何使用余弦定理的。這里選取了開源搜索引擎數(shù)據(jù)庫ES的內(nèi)核Lucene作為研究對(duì)象。研究的問題是：Lucene是如何使用余弦相似度進(jìn)行文檔相似度打分？

當(dāng)然，對(duì)于Lucene的實(shí)現(xiàn)，它有另一個(gè)名字：向量空間模型。即許多向量化的文檔集合形成了向量空間。我們首先直接看公式：

很明顯，實(shí)際公式跟理論公式長(zhǎng)相差異很大。那么我們?cè)趺蠢斫饽?#xff1f;換言之，我們?cè)趺椿诶碚摴酵茖?dǎo)出實(shí)際公式呢？

首先需要注意的是，在Lucene中，文檔向量的特征不再是我們案例3中展示的，用的詞頻，而是TF-IDF。關(guān)于TF-IDF相關(guān)的知識(shí)，比較簡(jiǎn)單，主要的思路在于：

如何量化一個(gè)詞在文檔中的關(guān)鍵程度？? TF-IDF給出的答案是綜合考慮詞頻(詞在當(dāng)前文檔中出現(xiàn)的次數(shù))以及逆文檔頻率(詞出現(xiàn)的文檔個(gè)數(shù))兩個(gè)因素。

詞在當(dāng)前文檔中出現(xiàn)次數(shù)(TF)越多，? 詞越重要

詞在其他文檔出現(xiàn)的次數(shù)(IDF)越少，詞越獨(dú)特

感興趣的話，可以自行參考其他資料，這里不展開說明。

回到我們的核心問題:?我們?cè)趺椿诶碚摴酵茖?dǎo)出實(shí)際公式呢？

四步走就可以了，如下圖：

第一步：計(jì)算向量乘法

向量乘法就是套用數(shù)學(xué)公式了。這里需要注意的是，這里有兩個(gè)簡(jiǎn)化的思想：

查詢語句中不存在的詞tf(t,q)=0

查詢語句基本沒有重復(fù)的詞tf(t,q)=1

所以我們比較簡(jiǎn)單完成了第一步推導(dǎo)：

第二步: 計(jì)算查詢語句向量長(zhǎng)度|V(q)|

計(jì)算向量長(zhǎng)度，其實(shí)就是勾股定理的使用了。只不過這里是多維空間的勾股定理。

這里取名queryNorm, 表示這個(gè)操作是對(duì)向量的歸一化。這個(gè)其實(shí)是當(dāng)向量乘以queryNorm后，就變成了單位向量。單位向量的長(zhǎng)度為1，所以稱為歸一化，也就是取名norm。理解了這一層，看lucene源碼的時(shí)候，就比較容易理解了。這正如瑯琊榜的臺(tái)詞一樣：問題出自朝堂，答案卻在江湖。這里是問題出自Lucene源碼，答案卻在數(shù)學(xué)。

第三步：計(jì)算文檔向量長(zhǎng)度|V(d)|

這里其實(shí)是不能沿用第二步的做法的。前面已經(jīng)提到，向量有兩大要素：方向和長(zhǎng)度。余弦公式只考慮了方向因素。這樣在實(shí)際應(yīng)用中，余弦相似度就是向量長(zhǎng)度無關(guān)的了。

這在搜索引擎中，如果查詢語句命中了長(zhǎng)文檔和短文檔，按照余弦公式TF-IDF特征，偏向于對(duì)短小的文檔打較高的分?jǐn)?shù)。對(duì)長(zhǎng)文檔不公平，所以需要優(yōu)化一下。

這里的優(yōu)化思路就是采用文檔詞個(gè)數(shù)累積，從而降低長(zhǎng)文檔和短文檔之間的差距。當(dāng)然這里的業(yè)務(wù)訴求可能比較多樣，所以在源碼實(shí)現(xiàn)的時(shí)候，開放了接口允許用戶自定義。借以提升靈活度。

第四步：混合用戶權(quán)重和打分因子

所謂用戶權(quán)重，就是指用戶指定查詢?cè)~的權(quán)重。例如典型地競(jìng)價(jià)排名就是人為提升某些查詢?cè)~的權(quán)重。所謂打分因子，即如果一個(gè)文檔中相比其它的文檔出現(xiàn)了更多的查詢關(guān)鍵詞，那么其值越大。綜合考慮了多詞查詢的場(chǎng)景。經(jīng)過4步，我們?cè)倏赐茖?dǎo)出來的公式和實(shí)際公式，發(fā)現(xiàn)相似度非常高。

推導(dǎo)公式和官方公式基本就一致了。

五、總結(jié)

本文簡(jiǎn)單介紹了余弦相似度的數(shù)學(xué)背景。從埃及金字塔的建設(shè)問題出發(fā)，引出了勾股定理，進(jìn)而引出了余弦定理。并基于向量推導(dǎo)出來了余弦公式。

接下來通過三個(gè)業(yè)務(wù)場(chǎng)景的例子，介紹余弦公式的應(yīng)用，即數(shù)學(xué)模型如何落地到業(yè)務(wù)場(chǎng)景中。這三個(gè)簡(jiǎn)單的例子代碼不過百行，能夠幫助讀者更好地理解余弦相似度。

最后介紹了一個(gè)工業(yè)級(jí)的樣例。基于Lucene構(gòu)建的ES是當(dāng)前最火熱的搜索引擎解決方案。學(xué)習(xí)余弦公式在Lucene中落地，有助于理解業(yè)界的真實(shí)玩法。進(jìn)一步提升對(duì)余弦公式的理解。

六、參考文獻(xiàn)

作者：Shuai Guangying

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的python勾股定理中三个数的关系是、找出三十以内的_从勾股定理到余弦相似度-程序员的数学基础...的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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