概念

多目標優化問題( multi-objective optimization problem，MOP)也稱為向量優化問題或多準則優化問題。多目標優化問題可以描述為:在可行域中確定由決策變量組成的向量，它滿足所有約束，并且使得由多個目標函數組成的向量最優化。

而這些組成向量的多個目標函數彼此之間通常都是互相矛盾的。

因此，這里的“優化”意味求一個或一組解向量使目標向量中的所有目標函數滿足設計者的要求。

這些相互沖突的子目標，一個子目標的改善有可能會引起另一個或者另幾個子目標的性能降低 , 也就是要同時使多個子目標一起達到最優值是不可能的 , 而只能在它們中間進行協調和折中處理 , 使各個子目標都盡可能地達到最優化。多目標優化與單目標優化問題的本質區別在于 ,它的解并非唯一 ,而是存在一組由眾多 Pareto最優解組成的最優解集合 ,集合中的各個元素稱為 Pareto最優解或非劣最優解。

數學描述

多目標優化問題的數學描述由決策變量、目標函數、約束條件組成。由于多目標優化問題的應用領域不同，其數學描述也不同，包括一般多目標優化、動態多目標優化、確定多目標優化和不確定多目標優化等幾種。
一般多目標優化數學描述如下：

其中：x為D維決策變量，y為目標函數，N為優化目標總數； f n (x)為第n個子目標函數； g(x)為K項不等式約束條件， h(x)為M項等式約束條件，約束條件構成了可行域； x d ? min 和 x d ? max為向量搜索的上下限。以上方程表示的多目標最優化問題包括最小化問題（min）和最大化問題（max）以及確定多目標優化問題。

Pareto解（非劣解）

多目標優化問題并不存在一個最優解，所有可能的解都稱為非劣解，也稱為Pareto解。

Pareto支配(Pareto Dominance)

在最小化優化問題中，當且僅當 ? i ∈ { 1 , 2 , … , m } , f i ( x ) ≤ f i ( y )， 且 ? j ∈ { 1 , 2 , … , m } , f j ( x ) ≤ f j ( y ) ,f j? (x)≤f j (y)，我們稱 x支配y (有些場合也稱為 x占優于y ),記作 x?y。
換句話說，在最小化優化問題中，x至少存在一個目標分量中小于y，并且其他目標分量也不會比y大，我們希望得到盡量小的解，那么越小就越優，越優的解所處的前沿面序號越小，所以使用‘x?y ’表示x支配y。

Pareto最優解(Pareto Optimal Solution)

如果一個解 x *被稱之為Pareto optimal solution， 當且僅當 x *不被其他的解支配。又稱為非劣解、非支配解。
上圖中的解A、解D、解E都是非支配解。

通俗點說就是：無法在改進任何目標函數的同時不削弱至少一個其他目標函數。這種解稱作非支配解或Pareto最優解。

無法進行簡單相互比較的解，不存在比它更優越解的解，也就是說該解體現了若干 f i ( x ) 的最優（不是所有 f i ( x ) 的最優）。

在單目標優化問題中，通常最優解只有一個，而且能用比較簡單和常用的數學方法求出其最優解。然而在多目標優化問題中，各個目標之間相互制約，可能使得一個目標性能的改善往往是以損失其它目標性能為代價，不可能存在一個使所有目標性能都達到最優的解。

Pareto 集(Pareto Set)

一個多目標優化問題（MOP），對于一組給定的最優解集，如果這個集合中的解是相互非支配的，也即兩兩不是支配關系，那么則稱這個解集為Pareto Set 。

Pareto 前沿(Pareto Front)

Pareto Set 中每個解對應的目標值向量組成的集合稱之為Pareto Front, 簡稱為PF。

求解多目標優化問題的過程就是尋找Pareto最優解的過程

求解思想

在存在多個Pareto最優解的情況下，如果沒有關于問題的更多的信息，那么很難選擇哪個解更可取，因此所有的Pareto最優解都可以被認為是同等重要的。由此可知，對于多目標優化問題，最重要的任務是找到盡可能多的關于該優化問題的Pareto最優解。因而，在多目標優化中主要完成以下兩個任務：

1.找到一組盡可能接近Pareto最優域的解。
2.找到一組盡可能不同的解。

第一個要求算法要保證可靠的收斂性，第二個要求算法保證充足的分布性（包括多樣性和均勻性）。即要求求得盡可能均勻分布的pareto最優解集，然后根據不同的設計要求和意愿，從中選擇最滿意的設計結果。多目標優化問題最終獲得的解實際是所有有效解中的一個解或確定全部非支配解。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的多目标优化问题MOP的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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