題目

證明從N個數中,取出3個整數的不同組合的總數為N(N-1)(N-2)/6
提示 使用數學歸納法

分析

百度了下什么是數學歸納法:
數學歸納法（Mathematical Induction, MI）
是一種數學證明方法，通常被用于證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數范圍內成立
原理
最簡單和常見的數學歸納法是證明當n等于任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步：
證明當n= 1時命題成立。
假設n=m時命題成立，那么可以推導出在n=m+1時命題也成立。（m代表任意自然數）
這種方法的原理在于：首先證明在某個起點值時命題成立，然后證明從一個值到下一個值的過程有效。當這兩點都已經證明，那么任意值都可以通過反復使用這個方法推導出來。把這個方法想成多米諾效應也許更容易理解一些。
例如：你有一列很長的直立著的多米諾骨牌，如果你可以：
證明第一張骨牌會倒。
證明只要任意一張骨牌倒了，那么與其相鄰的下一張骨牌也會倒。
骨牌一個接一個倒下就如同一個值接下一個值
骨牌一個接一個倒下就如同一個值接下一個值
那么便可以下結論：所有的骨牌都會倒下
解題要點
數學歸納法對解題的形式要求嚴格，數學歸納法解題過程中，
第一步：驗證n取第一個自然數時成立
第二步：假設n=k時成立，然后以驗證的條件和假設的條件作為論證的依據進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去。
最后一步總結表述。

證明過程

證明1:數學歸納法

第一步:證明從N個數中,取出2個整數的不同組合的總數為N(N-1)2
(1)假設n=2和n=3
從2個整數中,取2個整數的總數只有1種,符合21/2=1
從3個整數中,取2個整數的總數3種,32/2=3種,符合
(2)假設a從N個整數中取出2個整數的不同組合的總數為N(N-1)2
那么從N+1個整數中取出2個整數的不同組合的總數可以分成兩部分
一部分是從N個整數中取出2個整數的不同組合的總數為N(N-1)2
另一部分是必須包含第N+1元素,另外一個元素可以隨意取的情況(范圍從1到N),那么這一部分的數量為N
把上述兩個部分相加得到
從N+1個整數中取出2個整數的不同組合的總數為N(N-1)/2+N=N(N+1)/2
(3)而假設二a中f(n)=n(n-1)/2;f(n+1)=(n+1)*2/2
上面兩者是相等的,因此數學歸納法就可以得出證明從N個數中,取出2個整數的不同組合的總數為N(N-1)2

分割下

第二步:證明從N個數中,取出3個整數的不同組合的總數為N(N-1)(N-2)/6
(1)假設N=3和N=4
從3個整數中,取3個整數的總數只有1種,符合321/6=1
從4個整數中,取3個整數的總數4種,符合432/6=4
比如有數字1,2,3,4.那么只有4種可能(1,2,3);(1,2,4);(1,3,4);(2,3,4)
(2)假設b從N個數中,取出3個整數的不同組合的總數為N(N-1)(N-2)/6
那么從N+1個整數中取出3個整數的不同組合的總數可以分成兩部分
第一部分:不包含第N+1元素的,有f(n)即假設b…f(n)=N(N-1)(N-2)/6個
第二部分:包含第N+1元素的,那么另外2個數只能從N個元素中取,即第一步我們證明的結論:從N個數中,取出2個整數的不同組合的總數為N(N-1)2
把上述的一二部分相加N(N-1)(N-2)/6+N(N-1)/2=(N的三次方-N)/6
(3)根據假設f(n)=N(N-1)(N-2)/6,那么
f(n+1)=(N+1)N(N-1)/6,
上面兩者是相等的,因此數學歸納法就可以得出證明從N個數中,取出3個整數的不同組合的總數為N(N-1)(N-2)/6

證明方法2

區別
Combine，組合，不分順序，組合比排列所取得的種數更少。如5取3，C(5,3)=5!/(3!(5-3)!)=5!/(3!2!)=(543)/(321)

Arrange，排列，區分順序，因而排列比組合取得的種數更多。比如5取3。A(5,3)=5!/(5-3)!=5!/2!=543

公式：
n>m,即從n中取m個

排列：A(n,m)=n!/(n-m)!
組合：C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!) 即C(n,m)=A(n,m)/m!

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法第四版 练习答案 1.4.1的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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