二分類問(wèn)題的性能度量為何選用 $F_1$ 值？

已知混淆矩陣

prediction positiveprediction negative

actuality positive	True Positive(TP)	False Negative(FN)
actuality negative	False Positive(FP)	True Negative(TN)

其中：Precise（精確率/查準(zhǔn)率）= $\frac{TP}{TP+FP}$，表示所有預(yù)測(cè)為positive的集合中實(shí)際為positive的頻率；
Recall（召回率/查全率）= $\frac{TP}{TP+FN}$，表示所有實(shí)際為positive的集合中預(yù)測(cè)為positive的頻率。

1、“P-R”曲線

對(duì)我們來(lái)說(shuō)，$P$ 和 $R$ 都為1的模型是最完美的，但實(shí)際情況卻并不像我們想的那樣，通過(guò)“ $P$-$R$”曲線，對(duì)模型判斷

圖片來(lái)源：http://shichaoxin.com/2018/12/03/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E5%9F%BA%E7%A1%80-%E7%AC%AC%E4%B8%89%E8%AF%BE-%E6%A8%A1%E5%9E%8B%E6%80%A7%E8%83%BD%E5%BA%A6%E9%87%8F/

為了防止極端小的 $P和R$ 值影響我們對(duì)模型的判斷，一般通過(guò)曲線下面積或 $P=R$ 的平衡點(diǎn)作為判別標(biāo)準(zhǔn)。以平衡點(diǎn)判別被認(rèn)為過(guò)于簡(jiǎn)單。

2、$F_1$值（P和R的調(diào)和平均數(shù)）

引如$F_1$值作為二分類問(wèn)題的模型性能度量標(biāo)準(zhǔn)
$$F_1=\frac{2PR}{P+R}$$
這里$F_1$是基于 $P$ 和 $R$ 的調(diào)和平均數(shù)，即 $F_1$ 的倒數(shù)為 $P$ 和 $R$ 的倒數(shù)之和的二分之一$$\frac{1}{F_1}=(\frac{1}{P}+\frac{1}{R})\times \frac{1}{2}$$
在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，調(diào)和平均數(shù)($F$)、幾何平均數(shù)($G$)、算數(shù)平均數(shù)($\overline{X}$)
它們之間的關(guān)系用公式表示為
$$F\le G\le \overline{X}$$
其中，$F=\frac{2ab}{a+b}$、$G=\sqrt{ab}$、$\overline{X}=\frac{a+b}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng) $a=b$ 時(shí)上面等式成立

證明如下：

假設(shè)存在 $a,b>0$，則

$(a+b{)}^2?(2\sqrt{ab}{)}^2$
$=a^2+b^2+2ab?4ab$
$=a^2+b^2?2ab$
$=(a?b{)}^2\ge 0$，當(dāng)且僅當(dāng) $a=b$ 時(shí)等式成立
即 $$(a+b{)}^2\ge (2\sqrt{ab}{)}^2$$
已知 $a,b>0$，則$a+b\ge 2\sqrt{ab}$

推出 $$\frac{2ab}{a+b}\le \frac{ab}{\sqrt{ab}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$$
當(dāng)且僅當(dāng) $a=b$ 時(shí)等式成立

即證。

這三種平均數(shù)各有利弊，但調(diào)和平均數(shù)受極端值影響較大，更適合評(píng)價(jià)不平衡數(shù)據(jù)的分類問(wèn)題。

3、舉例

已知三種模型得到的 $P$ 和 $R$ 值如下，分別計(jì)算三種平均數(shù)

$P$$R$$\overline{X}$$G$$F_1$

algorithm 1	0.5	0.4	0.45	0.45	0.44
algorithm 2	0.7	0.1	0.4	0.27	0.18
algorithm 3	0.02	1.0	0.51	0.14	0.04

可以看出算法3的 $P$ 值非常小，我們認(rèn)為此模型效果不好，但是利用算數(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)來(lái)衡量并不能表現(xiàn)出來(lái)，只有 $F_1$ 對(duì)極端值比較重視，能夠感受到這種變化。

參考
[1]統(tǒng)計(jì)學(xué)
[2]機(jī)器學(xué)習(xí)基礎(chǔ)-模型性能度量

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的为何选用F1值（调和平均数）衡量P与R？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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