點到直線的距離公式是高中常見的解析幾何公式，形式很優美，但很多人不清楚它的由來，本篇主要來推導一下這個公式，并推廣到點到面的距離公式。

• 基礎知識

向量(vector):方向(direction)+大小(magnitude)

向量點積(dot product)：

圖：向量AB，AC示意圖

于是

另

。注： 點乘為兩個向量對應乘積之和.

向量

在向量 上的投影AD：

圖：投影示意圖

所以，向量 在向量 的投影長度，等于向量 點乘向量 的單位向量(要加絕對值)。

• 點到直線的距離公式

任意一條直線l:ax+by+c=0,點

,求點A到直線l的距離。

（Find the distance between a point A and a line l）

圖：直線l與點A示意圖

在直線l上任取一點

，則 ，如下圖所示。

圖：點B

點A到直線l的距離，等于AC的長度，也等于向量

在向量 上的投影，也就是在法向量 (normal vector) 上的投影。

而直線的方向向量(direction vector)為

, 法向量(normal vector)為 ，則根據基礎知識中的介紹，

又因為， ，

所以點A到直線l的距離公式為：

• 點到面的距離公式

點A到平面

的距離。

(Find the distance between a point A and a plane

)

圖：點A與平面

與點到直線的距離做法類似，先在平面

上找一點 , 以及平面 的法向量 。其中，平面的法向量為 。

圖：點B與法向量n

于是點A到平面

的距離就是向量 在向量 上的投影，也就是在法向量 (normal vector) 上的投影。

• 推廣：n維空間中點A到n維超平面的距離

點

，超平面 ，

則點A到超平面

的距離為：

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如果想看更多有趣的數學知識，可參閱

雙木止月Tong：【國際數學課程】目錄?zhuanlan.zhihu.com

總結

以上是生活随笔為你收集整理的n维椭球体积公式_【“数”你好看】点到直线与面的距离公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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