這是一個(gè)算法作業(yè)，老師說要用分治思想解決，在網(wǎng)上找了都講解的不是很明白，比賽對(duì)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，有點(diǎn)費(fèi)解。不過最后還是想明白了，順便把作業(yè)放這，有興趣了解的可以看一下，逃）

問題：

有N個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行單循環(huán)賽，即每個(gè)運(yùn)動(dòng)員要和所有其他運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一次比賽。
1．試用分治法為N個(gè)運(yùn)動(dòng)員安排比賽日程。
2．要求每個(gè)（或隊(duì)）運(yùn)動(dòng)員每天只能進(jìn)行一場比賽，且當(dāng)運(yùn)動(dòng)員人數(shù)(隊(duì)數(shù))為偶數(shù)時(shí)，整個(gè)比賽在N-1天內(nèi)結(jié)束，為奇數(shù)時(shí)，在N天內(nèi)結(jié)束；
3．將運(yùn)動(dòng)員從1到N編號(hào)。

思路：
我們用表格的方式來表示循環(huán)賽的日程安排，最左邊的一列表示隊(duì)號(hào)，每一行表示相應(yīng)隊(duì)比賽每天的對(duì)手，即a[i][j]表示第i隊(duì)第j天的對(duì)手。
我們從兩個(gè)隊(duì)的比賽開始，并發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律：

其中，四隊(duì)的表格可以從兩隊(duì)的表格產(chǎn)生的：

但這只能解決2的冪的隊(duì)數(shù)的循環(huán)賽日程。

為了解決更普遍的隊(duì)數(shù)，我們考慮隊(duì)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，它必然可以被2整除，商為偶數(shù)或奇數(shù)。商為偶數(shù)可以用上面的方法得到結(jié)果，商為奇數(shù)時(shí)，就不行了。
我們先來看一個(gè)例子，隊(duì)數(shù)為6時(shí)，它的一半為3，是奇數(shù)，不能用上面的方法，我們先考慮它的子問題：隊(duì)數(shù)為4時(shí)，就是上面求出的結(jié)果了，我們要從隊(duì)數(shù)4產(chǎn)生6的結(jié)果：

我們可以看到后3行其實(shí)和前3行是一樣的，只是編號(hào)變了而已。為了讓編號(hào)在6以內(nèi)，我們要改變編號(hào)7的對(duì)應(yīng)情況，可以看出編號(hào)7是由編號(hào)4產(chǎn)生的，所以我們只要讓它們相對(duì)的隊(duì)組成一隊(duì)就可以了，即3-6,2-5,1-4。

至此，我們只解決了6隊(duì)的一部分情況，第5、6列還沒有產(chǎn)生：
由上面可知，第1行還缺5,6，第2行缺4,6，第3行缺4,5，那么它們?cè)撛趺磁帕胁挪粫?huì)沖突呢？我們看到1,2,3行的5,6列在4,5,6中取兩個(gè)值，可以用循環(huán)隊(duì)列的形式解決，如下：

到此，我們來想更普遍的情況，任意一個(gè)隊(duì)數(shù)n，是否都可以分解為上面的兩種情況？
首先，我們看任意n是否能終止分解？如下偽代碼：

while i != 1 doif i % 2 == 0i i/2else i i+1

對(duì)于任何大于2的數(shù)除以2再加1或者加1再除以2，它的規(guī)模都會(huì)縮小，所以這最終是可以終止的。接著我們看是否能分解為上面兩種情況：
n為奇數(shù)時(shí)，用n+1代替計(jì)算，即轉(zhuǎn)化為偶數(shù)的隊(duì)數(shù)。
n為偶數(shù)時(shí)，分兩種情況，（1）n/2為偶數(shù)，（2）n/2為奇數(shù)。（1）繼續(xù)被2除，直到商為1，即轉(zhuǎn)化為第一種情況，n是2的冪，或者商為大于1的奇數(shù)（2），轉(zhuǎn)化為（2）。（2）就是第二種情況。所以，任意n是可以分解為上面兩種情況的，而且是可以終止的。
把上述的內(nèi)容一般化，即為我們解決該問題的解：
1．tournament(a[][],n)用遞歸把問題分解為多個(gè)子問題，其中odd(n)判斷n是否為奇數(shù),makecopy(a[][], n)用上面的兩種情況中的一種產(chǎn)生日程：

tournament(a[][], n) if n == 1a[0][0] = 1;return; if odd(n)tournament(a[][], n+1); elsetournament(a[][], n/2); makecopy(a[][], n); return;

2．odd(n)判斷n是否為奇數(shù)：

odd(n) return n&1;

3．makecopy(a[][], n)用上面的兩種情況中的一種產(chǎn)生日程，如果n/2為偶數(shù)用第一種，即copy(a[][], n)，n/2為奇數(shù)用第二種，即copyodd(a[][], n):

makecopy(a[][], n) m = n/2; if odd(m)copyodd(a[][], n); else copy(a[][], n);

4．copy(a[][], n)第一種情況的日程產(chǎn)生方法，為了更好的理解，我們從1*1到2*2到4*4的表格產(chǎn)生情況開始（假設(shè)表為二維數(shù)組a）：

1*1表產(chǎn)生2*2表是將a[0][0]加1放到a[0][1],再將這個(gè)值復(fù)制到a[1][0],將a[0][0]中的數(shù)復(fù)制到a[1][1].
同理，2*2表產(chǎn)生4*4表是將2*2表相應(yīng)位置(即4*4表左上角)加2放到右上角，再復(fù)制到左下角，將左上角復(fù)制到右下角：

copy(a[][], n) m = n/2; for i 0 to m-1 dofor j 0 to m-1 doa[i][j+m] = a[i][j]+m;a[i+m][j] = a[i][j+m];a[i+m][j+m] = a[i][j];

5．copyodd(a[][], n)為第二種情況的日程產(chǎn)生方法，上面我們已經(jīng)了解了隊(duì)數(shù)為6時(shí)的產(chǎn)生情況，我們把情況一般化，隊(duì)數(shù)為n，且m=n/2為奇數(shù)，且隊(duì)數(shù)為m+1的子情況已經(jīng)解決：

因?yàn)?m+1已經(jīng)超出n的范圍，所以我們將值為m+1和2m+1的隊(duì)組成一組，即1—m+1,2—m+2,3—m+3,……,m—n.
因?yàn)樗鼈冎g都相差m，所以可以用一個(gè)數(shù)組b的索引和值的對(duì)應(yīng)關(guān)系來表示：

至此，我們完成了部分對(duì)應(yīng)關(guān)系，接著要解決m+2到n列的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
第1行還缺m+2……n;
第2行缺 m+3……n, m+1;
第3行缺 m+4……n, m+1,m+2;
……
第m行缺 m+1……n-1.
可以看出它們是在m+1到n之間循環(huán)取值，且每次取m-1個(gè)。所以，可以用一個(gè)包括2個(gè)m+1到n連續(xù)排列的數(shù)組表示：
0 1 …… m-1 m m+1 …… n-1
m+1 m+2 …… n m+1 m+2 …… n
剩下未分配的隨之解決。

copyodd(a[][], n) m = n/2; for i0 to n-1 dob[i] = m+i+1; for i0 to m-1 dofor j 0 to m-1 doif a[i][j]> m a[i][j] = b[i];a[i+m][j] = i+1;elsea[i+m][j] = a[i][j] + m;for j 1 to m-1a[i][m+j] = b[i+j];a[b[i+j]][m+j] = i+1;

循環(huán)賽算法到此完成。
數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：
一個(gè)二維數(shù)組a[n][n]存儲(chǔ)日程表，一個(gè)一維數(shù)組b[n]存儲(chǔ)映射關(guān)系。
效率分析：
T(n) = T(n/2)+f(n)
其中，f(n)為copy()的時(shí)間
f(n) = (n/2)^2
推出：T(n) = T(n/2)+(n/2)^2
因?yàn)槎挚梢苑謑og n次，所以T(n) = (n/2)^2+(n/4)^2+…+1 ;
所以，T(n)∈O(n^2)。
參考資料：
http://www.cppblog.com/cdy20/archive/2009/04/01/78573.html?yyue=a21bo.50862.201879#_Toc225487252

http://www.cnblogs.com/hoojjack/p/4211941.html

http://www.cnblogs.com/kelin1314/archive/2009/07/15/1523905.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的循环赛算法分析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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