傅里葉級數與傅里葉變換_Part3_周期為2L的函數展開為傅里葉級數

參考鏈接：
DR_CAN老師的原視頻

0、復習Part2的內容

參考鏈接：傅里葉級數與傅里葉變換_Part2_周期為2Π的函數展開為傅里葉級數

對于周期為 $T=2\pi$周期函數，即$f\left(x\right)=f\left(x+2\pi \right)$ ，它的傅里葉級數展開形式如下：
$f\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$
其中，
$\begin{array}{l}{a}_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f\left(x\right)dx\\ \\ a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f\left(x\right)\cos nxdx\\ \\ b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }f\left(x\right)\sin nxdx\end{array}$

1、周期為2L的函數展開為傅里葉級數

對于，$f\left(t\right)=f\left(t+2L\right)$ ，周期為$T=2L$的函數

如果想用運用Part2掌握的以$T=2\pi$為周期的$f\left(t\right)=f\left(t+2\pi \right)$的傅里級數展開公式，需要做一個換元。

令 $x=\frac{\pi }{L}t?t=\frac{L}{\pi }x$

$t$$x$

$2L$	$x=\frac{\pi }{L}t=\frac{\pi }{L}?2L=2\pi$
$4L$	$4\pi$
$0$	$0$

$f\left(t\right)=f\left(\frac{\pi }{L}x\right)?g\left(x\right)$

通過換元，我們就把周期為$T=2L$的函數，$f\left(t\right)=f\left(t+2L\right)$ 變成了周期為$T=2\pi$的函數$g\left(t\right)=g\left(t+2\pi \right)$ 。

根據Part2的內容我們知道
$g\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$
其中，
$\begin{array}{l}{a}_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }g\left(x\right)dx\\ \\ a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }g\left(x\right)\cos nxdx\\ \\ b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }g\left(x\right)\sin nxdx\end{array}$
👇
現在要做的，就是把$x=\frac{\pi }{L}t$帶進去

$\cos nx=\cos \frac{n\pi }{L}t,\sin nx=\sin \frac{n\pi }{L}t$

$g\left(x\right)=f\left(t\right)$

$x$$t$

$?\pi$	$t=\frac{L}{\pi }x=\frac{L}{\pi }??\pi =?L$
$\pi$	$L$

${\int }_{?\pi }^{\pi }dx={\int }_{?L}^{L}d\frac{\pi }{L}t=\frac{\pi }{L}{\int }_{?L}^{L}dt$

$\frac{1}{\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }dx=\frac{1}{\pi }?\left(\frac{\pi }{L}{\int }_{?L}^{L}dt\right)=\frac{1}{L}{\int }_{?L}^{L}dt$

講上述算出的式子帶入到$g\left(x\right)$中。

$f\left(t\right)=g\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \frac{n\pi }{L}t\frac{n\pi }{L}t+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin \frac{n\pi }{L}t\frac{n\pi }{L}t$
其中
$\begin{array}{l}{a}_0=\frac{1}{L}\frac{1}{L}{\int }_{?L}^{L}f\left(t\right)dt\\ \\ a_n=\frac{1}{L}\frac{1}{L}{\int }_{?L}^{L}f\left(t\right)\cos \frac{n\pi }{L}tdt\frac{n\pi }{L}tdt\\ \\ b_n=\frac{1}{L}\frac{1}{L}{\int }_{?L}^{L}f\left(t\right)\sin \frac{n\pi }{L}tdt\frac{n\pi }{L}tdt\end{array}$

在工程當中，由于時間是$t\ge 0$的，所以$t$是從$0$開始的，假設周期為 $T=2L$，$\omega ?\frac{\pi }{L}=\frac{2\pi }{2L}=\frac{2\pi }{T}$ ，這個$\omega$本質上就是角頻率。

再來看積分，因為$?L$ ~ $L$是一個周期， 也$0$ ~ $2L$是一個周期，因此 ${\int }_{?L}^{L}dt\to {\int }_0^{2L}dt\to {\int }_0^{T}dt$，把上述的符號帶入到周期為$T=2L$的傅里葉級數展開公式當中，就可以得到。

$f\left(t\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos n\omega t+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin n\omega t$

$\begin{array}{l}{a}_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f\left(t\right)dt\\ \\ a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f\left(t\right)\cos n\omega tdt\\ \\ b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f\left(t\right)\sin n\omega tdt\end{array}$

伏筆： 考慮，當$T\to \infty$時，$f\left(t\right)$ 不再為周期函數，那時候 $f\left(t\right)$該給如何展開呢？ 這就是傅里葉變換啦。

2、例子

把下圖這個函數，傅里葉展開一下

$T=20,\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{20}=\frac{1}{10}\pi$

$a_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f\left(t\right)dt=\frac{2}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}7dt+\frac{2}{T}{\int }_{\frac{T}{2}}^{T}3dt=7+3=10$

$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f\left(t\right)\cos n\omega tdt=\frac{2}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}7\cos \frac{n\pi }{10}tdt+\frac{2}{T}{\int }_{\frac{T}{2}}^{T}3\cos \frac{n\pi }{10}dt\\ & =\frac{1}{10}?\left(\frac{70}{n\pi }\sin \frac{n\pi }{10}t|{}_0^{10}\right)+\frac{1}{10}?\left(\frac{30}{n\pi }\sin \frac{n\pi }{10}t|{}_{10}^{20}\right)=\frac{1}{10}?\left(0+0\right)=0\end{array}$

$\begin{array}{rl}{b}_n& =\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f\left(t\right)\sin n\omega tdt=\frac{2}{T}{\int }_0^{\frac{T}{2}}7\sin \frac{n\pi }{10}tdt+\frac{2}{T}{\int }_{\frac{T}{2}}^{T}3\sin \frac{n\pi }{10}dt\\ & =\frac{1}{10}?\left(?\frac{70}{n\pi }\cos \frac{n\pi }{10}t|{}_0^{10}\right)+\frac{1}{10}?\left(?\frac{30}{n\pi }\cos \frac{n\pi }{10}t|{}_{10}^{20}\right)\\ & =?\frac{7}{n\pi }\left(\cos n\pi ?1\right)?\frac{3}{n\pi }\left(\cos 2n\pi ?\cos n\pi \right)\end{array}$

當 $n$為偶數時，$\cos n\pi =\cos 2n\pi =1$

$b_n=?\frac{7}{n\pi }\left(1?1\right)+?\frac{3}{n\pi }\left(1?1\right)=0$

當 $n$為奇數時，$\cos n\pi =?1,\cos 2n\pi =1$

$b_n=?\frac{7}{n\pi }\left(?1?1\right)?\frac{3}{n\pi }\left[1?\left(?1\right)\right]=\frac{8}{n\pi }$

所以
$\begin{array}{rl}f\left(t\right)& =\frac{10}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }0?\cos \frac{\pi }{10}nt+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin \frac{\pi }{10}nt\\ & =5+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{8}{n\pi }?\sin \frac{n\pi }{10}t,n=1,3,5,7,?\end{array}$

下面給出MatLAB仿真結果

MatLAB代碼如下:

close all; clear all; clc;dt = 0.1; t = 0:dt:40; ft = zeros(length(t),1); for i=1:length(t)if (t(i) >= 0 && t(i) <= 10) || (t(i) >= 20 && t(i) <= 30)ft(i) = 7;elseft(i) = 3;end end figure(1);plot(t,ft,'r-','LineWidth',2);grid on;hold on;axis([0,40,0,10]);FourierSerier0 = 5 * ones(length(t),1); % n = 1 FourierSerier1 = (8/(1*pi)) * sin((1*pi/10)*t); % n = 3 FourierSerier3 = (8/(3*pi)) * sin((3*pi/10)*t); % n = 5 FourierSerier5 = (8/(5*pi)) * sin((5*pi/10)*t); % n = 7 FourierSerier7 = (8/(7*pi)) * sin((7*pi/10)*t); % n = 9 FourierSerier9 = (8/(9*pi)) * sin((9*pi/10)*t);% n = 11 FourierSerier11 = (8/(11*pi)) * sin((11*pi/10)*t);Fs5 = FourierSerier0 + FourierSerier1 + FourierSerier3 + FourierSerier5; Fs5 = Fs5';Fs11 = FourierSerier0 + FourierSerier1 + FourierSerier3 + FourierSerier5 + FourierSerier7 + FourierSerier9 + FourierSerier11; Fs11 = Fs11';plot(t,Fs5,'b-','LineWidth',1.5); hold on; plot(t,Fs11,'k-','LineWidth',2.5);hold on; legend('f(t)','f(t)傅里葉級數（n取到5）',' f(t)傅里葉級數（n取到11）');

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶级数与傅里叶变换_Part3_周期为2L的函数展开为傅里叶级数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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