輾轉相除法（歐幾里得算法）

該算法常用于計算兩數的最大公約數。算法表示如下：
現有A， B兩正整數，其中A為較大者，A>=B; 通過一下算法求其最大公約數
1> A / B = C … D 使用較大者除以較小者，獲得余數D是否為0，若為0，則最大公約數為除數B
2> 若不能整除，則B作為較大者，余數D作為較小者(由除法性質知B >= D)，重復該算法

豎式計算如下：

設A = 899， B = 493。

1 | 899 | 493 || 493 |---------------- =》 | 406 |1 | 899 | 493 | 1| 493 | 406 |---------------- =》| 406 | 87 |4 | 406 | 87 || 87 | ---------------- =》| 58 |4 | 406 | 87 | 1| 87 | 58 |---------------- =》| 58 | 29|2 | 58 | 29| | 29 | ---------------- =》 29| 0 |

輾轉相除法證明

到此，我們發現該算法確實能夠很快的求解兩數的最大公約數問題，但是為什么這個算法是正確的，如何通過合理的證明，來驗證該算法的合理性呢？

證明過程如下：

現有正整數A， B。 其中A >= B; 有除法過程A / B = K … D 其中K為商，D為余數。 使用 A | B 表示 A被B整除
求證：A, B 的最大公約數 等于 B 與余數 D的最大公約數

設 A , B 的最大公約數為 C, 側有 A | C, 與 B | C
有除法定義知：BK + D = A，且 B | C 所以：BK | C
有 A | C 即 (BK + D) | C 得 D | C
到此可證，若 C為A和B的公約數，則必為B和D的公約數。由于終止條件為兩者求余為0，即 A = KB則得到最終的最大公約數。

更相減損術

九章算術中，使用減法進行計算，求取最大公約數的算法。與輾轉相除法如出一轍

可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。
白話文譯文：
（如果需要對分數進行約分，那么）可以折半的話，就折半（也就是用2來約分）。如果不可以折半的話，那么就比較分母和分子的大小，用大數減去小數，互相減來減去，一直到減數與差相等為止，用這個相等的數字來約分。

Stein算法

輾轉相除法依賴于出觸發運算，對于64位現代計算機能夠很快處理，但對于更大的數，超出浮點計算能力時，計算效率將會急劇下降。比如在一個64位字寬的浮點處理器上，計算一個128位甚至更長的數字，需要在除法算法上層做很多運算，而不能直接有機器在幾條指令內求解。

stein算法對大數求最大公約數做了優化。

參考

GCD（Greatest Common Divisor）最大公約數

總結

以上是生活随笔為你收集整理的辗转相除法的证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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