正文

傅里葉級數表述為：
$$f(t)=a_0+\sum _{k=1}^{\infty }\left\{a_k\cos \left(\frac{2\pi k}{T_0}t\right)+b_k\sin \left(\frac{2\pi k}{T_0}t\right)\right\}$$
上式中，$T_0$ 是傅里葉展開前原周期函數的一個周期。可以看到三角函數的角頻率 $\omega$ 為 $\omega =\frac{2\pi k}{T_0}$

※三角函數的中 $t$ 前面的系數是角頻率 $\omega$ 它與周期的關系是 $\omega =\frac{2\pi }{T}$ ,所以可以發現，在原函數的一個周期 $T_0$ 中, 當 $k$ 變化，角頻率 $\omega$ 隨之變化，于是周期 $T$ , 變成了 $\frac{T_0}{2}$ 、$\frac{T_0}{3}$ 、$\frac{T_0}{4}$ … $\frac{T_0}{\infty }$ 。

于是，上式就成了無窮個同相位、各種振幅的三角函數之和了。

（ ※注意：振幅為 $a_k$ 或 $b_k$ ）

周期 $T$ 隨 $k$ 增大不斷減小，即，頻率 $f$ 和角頻率 $\omega$ 不斷增大, 最大的周期稱為基本周期 $T_0$ ，最小的（角）頻率稱為基本（角）頻率 $f_0$ （ ${\omega }_0$ ），傅里葉級數的每一份三角函數的頻率都是基本頻率的整數倍。

接下來，級數展開需要求的三角函數的系數，即，傅里葉系數

求常數項 $a_0$ （直流成分）
$${\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}f(t)dt={\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}\left\{a_0+\sum _{k=1}^{\infty }\left\{a_k\cos \left(\frac{2\pi k}{T_0}t\right)+b_k\sin \left(\frac{2\pi k}{T_0}t\right)\right\}dt\right\}$$
由于積分和累加本質上就是求和（積分是連續和，累加是離散和）所以把積分號放進括號里，有：
$${\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}f(t)dt={\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}{a}_{0}dt+\sum _{k=1}^{\infty }\left\{{\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}{a}_k\cos \left(\frac{2\pi k}{T_0}t\right)dt+{\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}{b}_k\sin \left(\frac{2\pi k}{T_0}t\right)dt\right\}$$
在一個周期內，三角函數的定積分等于0，所以右側后項被消掉，得：
$${\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}f(t)dt={\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}{a}_{0}dt=T_0{a}_0$$
移項，
$$a_0=\frac{1}{T_0}{\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}f(t)dt$$
即直流成分的傅里葉系數 $a_0$ 為原函數的1個周期的定積分除以周期，$a_0$ 物理意義就是，原函數的時間平均值。

（關于三角函數正交性的一部分推導）

試證：
$${\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}\cos (\frac{2\pi m}{T_0}t)\cos (\frac{2\pi n}{T_0}t)dt=\frac{T_0}{2}{\delta }_{m,n}$$
其中,克羅內克德爾塔為
$${\delta }_{m,n}=\{\begin{array}{ll}0,& \text{if?m?=n}\\ 1,& \text{if?m=n}\end{array}$$

證明：

根據積化和差公式: (_help)

哥哥 = 哥 + 哥
$$\cos \alpha \cos \beta =\frac{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha ?\beta )}{2}$$
有：
$$\begin{gathered} {\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}\cos (\frac{2\pi m}{T_0}t)\cos (\frac{2\pi n}{T_0}t)dt={\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}\frac{\cos (\frac{2\pi m}{T_0}t+\frac{2\pi n}{T_0}t)+\cos (\frac{2\pi m}{T_0}t?\frac{2\pi n}{T_0}t)}{2}dt \\ ={\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}\frac{\cos (\frac{2\pi m}{T_0}t+\frac{2\pi n}{T_0}t)}{2}dt+{\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}\frac{\cos (\frac{2\pi m}{T_0}t?\frac{2\pi n}{T_0}t）}{2}dt \end{gathered}$$
右側第一項分子始終不為0，則一個周期內的積分為0；同理，右側第二項只有當分子$\cos (\frac{2\pi m}{T_0}t?\frac{2\pi n}{T_0}t)$的括號中為0時，該項變為常數項，積分才不為零，即只有 $m=n$ 時，$\cos 0=1$,等式右側變為：
$${\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}\frac{1}{2}dt$$
等于：
$$\frac{T_0}{2}$$

得證。

現在以求系數 $a_3$ 為例，在 ${\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}f(t)dt={\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}{a}_{0}dt+{\sum }_{k=1}^{\infty }\left\{{\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}{a}_k\cos \left(\frac{2\pi k}{T_0}t\right)dt+{\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}{b}_k\sin \left(\frac{2\pi k}{T_0}t\right)dt\right\}$ 的兩邊乘上一個 $\cos (\frac{2\pi ?3}{T_0})$ ，則：
$$\begin{gathered} {\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}f(t)\cos (\frac{2\pi ?3}{T_0})dt={\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}{a}_0\cos (\frac{2\pi ?3}{T_0})dt+\sum _{k=1}^{\infty }\left\{{\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}{a}_k\cos \left(\frac{2\pi k}{T_0}t\right)\cos (\frac{2\pi ?3}{T_0})dt+{\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}{b}_k\sin \left(\frac{2\pi k}{T_0}t\right)\cos (\frac{2\pi ?3}{T_0})dt\right\} \\ =0+{\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}{a}_3?\frac{T_0}{2}dt=\frac{a_3{T}_0}{2} \end{gathered}$$
于是，移項得：
$$a_3=\frac{2}{T_0}{\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}f(t)\cos (\frac{2\pi ?3}{T_0})dt$$
以此類推便完成了傅里葉級數展開, 將時域連續的原函數展開成了一大堆頻域離散三角函數的和。

即:
$$\begin{gathered} a_0=\frac{1}{T_0}{\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}f(t)dt \\ {a}_k=\frac{2}{T_0}{\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}f(t)\cos (\frac{2\pi ?k}{T_0})dt,(k=1,2,3...) \\ {b}_k=\frac{2}{T_0}{\int }_{?T_0/2}^{T_0/2}f(t)\sin (\frac{2\pi ?k}{T_0})dt,(k=1,2,3...) \end{gathered}$$

總結

（1）周期為 $T_0$ 的周期函數 $f(t)$ 能表示為$f(t)=a_0+{\sum }_{k=1}^{\infty }\left\{a_k\cos \left(\frac{2\pi k}{T_0}t\right)+b_k\sin \left(\frac{2\pi k}{T_0}t\right)\right\}$的形式，這個被稱為傅里葉展開

（2）$a_k,b_k$ 被稱為傅里葉系數

（3）累加起來的這些三角函數周期只存在原函數頻率 $f_0$ 的整數倍，即 $f=2f_0,3f_0...$ 不存在其他頻率的正余弦函數。

注意：

1）級數展開右側第一項$a_0$在很多教材中寫成$\frac{a_0}{2}$ 是為了在傅里葉系數表達式中，把 $a_0$ 公式包含進 $a_k$ 的式子中。實際上無論怎么寫這個展開式都一樣，僅僅是為了系數表達式的美觀

2）在推導系數表達式時積分和累加直接互換其實是不嚴謹的，這里的級數展開式的等號實際需要證明其成立，此處并未詳細說明，在DFT中會進一步說明，未完待續…

reference

[1] 如何巧記「積化和差」與「和差化積」公式？ - 青話的回答 - 知乎
[2] フーリエ級數

總結

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶级数展开的详细推导和部分证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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