• 復變函數第五章-留數
  • 1.孤立奇點
    • 1.1孤立奇點分類：
    • 1.2 零點
    • 1.3 函數在無窮遠處的性態
  • 2.留數
    • 2.1 基本概念
    • 2.2 留數的計算方法
    • 2.3 無窮遠處的留數
  • 3.留數應用

復變函數第五章-留數

1.孤立奇點

1.1孤立奇點分類：

可去奇點：無負冪項

m級極點：有限負冪項，最高負冪次為m,即(z?z0)?m(z?z0)?m

本性奇點：無窮負冪項

1.2 零點

m級零點

不恒為零的解析函數的零點是孤立的??

f(z)的零點也是1f(z)1f(z)的零點

可直接利用洛朗級數來判斷奇點類型

1.3 函數在無窮遠處的性態

f(z)洛朗展開t=0是f(1t1t)的z=∞∞是f(z)的

無正冪	可去奇點	有限正冪
有限正冪	m級極點	m級極點
無窮正冪	本性奇點	本性奇點

2.留數

2.1 基本概念

f(z)在孤立奇點z0z0展開洛朗級數，展開式中c?1c?1，即1z?z01z?z0的系數，就是f(z)在z0z0處的留數。

留數定理：∮Cf(z)dz=2πi∑k=1nRes[f(z),zk]∮Cf(z)dz=2πi∑k=1nRes[f(z),zk]

2.2 留數的計算方法

Res[f(z),z0]=???????????????????0c?1z0是極點???????????limz→z0(z?z0)f(z)1(m?1)!limz→z0[(z?z0)mf(z)]m?1P(z0)Q′(z0),一級極點,m級極點,f(z)=P(z)Q(z)...,z0是可去奇點,z0是本性奇點Res[f(z),z0]={0,z0是可去奇點c?1,z0是本性奇點z0是極點{limz→z0(z?z0)f(z),一級極點1(m?1)!limz→z0[(z?z0)mf(z)]m?1,m級極點P(z0)Q′(z0),f(z)=P(z)Q(z)...

2.3 無窮遠處的留數

Res[f(z),∞]=12πi∮c?f(z)dz=?c?1=?∑k=1nRes[f(z),zk]=?Res[f(1z)1z2,0]Res[f(z),∞]=12πi∮c?f(z)dz=?c?1=?∑k=1nRes[f(z),zk]=?Res[f(1z)1z2,0]

3.留數應用

總結

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