2 周期为2pi的函数展开为傅里叶级数
周期為2pi的函數展開為傅里葉級數
- 周期為2pi的函數展開為傅里葉級數
- 周期為2pi的函數
- 求a0
- 求an
- 求bn
- 結論
周期為2pi的函數展開為傅里葉級數
周期為2pi的函數
周期 T=2πf(x)=f(x+2π)T=2\pi \quad f(x)=f(x+2\pi)T=2πf(x)=f(x+2π)
把三角函數轉化為無數三角函數的加和
f(x)=∑n=0∞ancosnx+∑n=0∞bnsinx=a0cos0x+∑n=1∞ancosnx+b0sin0x+∑n=1∞bnsinx=a0+∑n=1∞ancosnx+∑n=1∞bnsinx\begin{aligned} f(x) &=\sum_{n=0}^{\infty}a_n cos nx+ \sum_{n=0}^{\infty}b_n sinx \\ &= a_0 cos0x + \sum_{n=1}^{\infty}a_n cos nx + b_0 sin0x + \sum_{n=1}^{\infty}b_n sinx \\ &=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}a_n cos nx + \sum_{n=1}^{\infty}b_n sinx \\ \end{aligned} f(x)?=n=0∑∞?an?cosnx+n=0∑∞?bn?sinx=a0?cos0x+n=1∑∞?an?cosnx+b0?sin0x+n=1∑∞?bn?sinx=a0?+n=1∑∞?an?cosnx+n=1∑∞?bn?sinx?
而有些教科書上的定義為：
求a0
∫?ππf(x)dx=∫?ππa0dx+∫?ππ∑n=1∞ancosnxdx+∫?ππ∑n=1∞bnsinxdx=a0∫?ππdx=a0x∣?ππ=2πa0\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx &= \int_{-\pi}^{\pi} a_0 dx + \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}a_n cos nx dx + \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}b_n sinx dx \\ &= a_0 \int_{-\pi}^{\pi} dx = a_0 x \mid_{-\pi}^{\pi} = 2 \pi a_0 \end{aligned} ∫?ππ?f(x)dx?=∫?ππ?a0?dx+∫?ππ?n=1∑∞?an?cosnxdx+∫?ππ?n=1∑∞?bn?sinxdx=a0?∫?ππ?dx=a0?x∣?ππ?=2πa0??
所以： a0=12π∫?ππf(x)dxa_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dxa0?=2π1?∫?ππ?f(x)dx
可能是為了抹去分母上的2，許多教科書上把公式定義為
此時： a0=1π∫?ππf(x)dxa_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dxa0?=π1?∫?ππ?f(x)dx
求an
等式兩邊乘以cosmxcosmxcosmx,求積分
∫?ππf(x)cosmxdx=∫?ππa02cosmxdx+∫?ππ∑n=1∞ancosnxcosmxdx+∫?ππ∑n=1∞bnsinnxcosmxdx\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosmxdx &= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_0}{2} cosmxdx + \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}a_n\;cosnxcosmxdx+ \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}b_nsinnxcosmxdx \end{aligned} ∫?ππ?f(x)cosmxdx?=∫?ππ?2a0??cosmxdx+∫?ππ?n=1∑∞?an?cosnxcosmxdx+∫?ππ?n=1∑∞?bn?sinnxcosmxdx?
等式的右邊只剩下 n=mn = mn=m 的情況下不等于0
∫?ππf(x)cosmxdx=∫?ππf(x)cosnxdx=∫?ππ∑n=1∞ancosnxcosnxdx=an∫?ππ∑n=1∞cosnx2dx=anπ\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosmxdx &= \int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx \\ &= \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}a_n\;cosnxcosnxdx \\ &=a_n\int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\;cosnx^2dx \\ &=a_n \pi \end{aligned} ∫?ππ?f(x)cosmxdx?=∫?ππ?f(x)cosnxdx=∫?ππ?n=1∑∞?an?cosnxcosnxdx=an?∫?ππ?n=1∑∞?cosnx2dx=an?π?
所以: an=1π∫?ππf(x)cosnxdxa_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdxan?=π1?∫?ππ?f(x)cosnxdx
求bn
等式兩邊乘以sinmxsinmxsinmx,求積分
所以: bn=1π∫?ππf(x)sinnxdxb_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdxbn?=π1?∫?ππ?f(x)sinnxdx
結論
周期為2π2\pi2π函數的傅里葉展開為：
f(x)=f(x+2π)T=2πf(x)=f(x+2\pi) \quad T=2\pif(x)=f(x+2π)T=2π
f(x)=a02+∑n=1∞ancosnx+∑n=1∞bnsinxf(x) =\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n cos nx + \sum_{n=1}^{\infty}b_n sinxf(x)=2a0??+∑n=1∞?an?cosnx+∑n=1∞?bn?sinx
a0=12π∫?ππf(x)dxa_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dxa0?=2π1?∫?ππ?f(x)dx
an=1π∫?ππf(x)cosnxdxa_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdxan?=π1?∫?ππ?f(x)cosnxdx
bn=1π∫?ππf(x)sinnxdxb_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdxbn?=π1?∫?ππ?f(x)sinnxdx
原視頻：
https://www.bilibili.com/video/av34556069/?spm_id_from=333.788.videocard.0
總結
以上是生活随笔為你收集整理的2 周期为2pi的函数展开为傅里叶级数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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