留下來的都是精華。

留數理論的一個重要應用就是用來計算實函數的積分，我們先從復變函數的孤立奇點的分類將起：

定義：

是一個全純函數：

當存在一個半徑

時，有 時。這時稱 為復變函數 的一個孤立奇點。現在假設 在 中展開點為 的 級數為：

則有一下關于孤立奇點的定義：

當 ,則 叫做可去奇點。

當 ,則 叫做 階極點。

當 既不是可去奇點也不是極點時，則稱為 的本質奇點。對于該定義可以這樣理解：可去奇點意味著可以在 上找到一個全純函數 ，使得：
且 在 處有定義。這種 其實就是 在 的 級數。 級數不含主部分。 階極點意味著可以在 上找到一個全純函數 ，使得: 級數含主部分的有限項（ 為記就含有幾項）。 不存在。即 級數含主部分的無限項。

例子：

是復變函數 的可去奇點。
可見， 在 處有定義。且 在 的冪級數展開式不包含任何 的負冪次項。也就是不含有 級數的主部分。

是復變函數 的一階極點。
也就是 的展開式中僅含有一項 的負冪次項，即含有有限項（一項）的 級數的主部分，所以 是 的一階極點。

是復變函數 的本質奇點。
含有 級數的主部分的無限項。

• 留數

什么是留數呢？留數留數，就是被留下來的數。也可以理解為剩下的數。到底是哪個數被留下了呢？首先，我們來考察一個復函數

在點 處的 級數：

我們對這個等式兩側進行積分有：

由于對

的積分只有當 時才有值，為 ，所以上面的一大串子積分最終變為：

也就是說

被留下了，這就是留數了，即：留數就是 的 級數的負一次冪的系數 。

顯然對于任何一個全純函數和僅具有可去奇點的復變函數來說，是沒有留數的。（因為這兩種情況下

的 級數是不含負次冪項的）。下面我們主要討論極點的留數應該如何計算。

對于極點的留數的計算分為以下三種情況：

若 是 的簡單極點（即一階極點），則 可由一個全純函數 表示為 ，則有：

若 ，且 在 的一個鄰域中是全純的，且 是 的簡單零點（一階零點），則有：

若 是 的 階極點，則 可由一個全純函數 表示為 ，則有：

證明：

這種情況是 中的 時的情況，一會我們來證明 。 設 ，則 在 是全純可展開的，且 。從而 在 是全純可展的且 。我們先利用 有： 。我們對我們所定義的 求導得到： ,對于 有：
即 成立，所以 成立。

對于這個定理，我想說明一點：如果在第二種情況中顯化了

的一次方，那么也可以當做第一種情況計算留數。比如：

則我們既可以按第一種類型計算

在奇點處的留數，也可以按第二種類型進行計算：

若按第一種類型計算留數的話那對于

的兩個不相交的圓域來說， 分別是 的兩個孤立奇點，且是兩個簡單極點。從而利用上面定理中的第一條有：

若直接利用第二條結論有：

• 留數定理以及其在實積分中的應用

留數定理：

設

是一個區域，且 是全純的，且 是一條封閉分段的 路徑，且在 中是零同倫的，也就是說在 中僅含有至多 個奇點 .則有：

其中

為卷繞數，若 為 曲線，則 。

證明：

我們僅考慮封閉路徑 中的奇點，對于封閉路徑以外的奇點，該封閉路徑對其的卷繞數為0。 我們可以將該封閉路徑分解為 個封閉子路徑 。對于每一個閉合子路徑 都僅包含具有相同卷繞數的奇點。 對于每一個閉合子路徑 都同倫于一個 次穿過的簡單封閉分段 路徑 ，從而有下列積分： 利用 積分定理：對于每一個沿簡單封閉的路徑 積分都可以分解為包含在 內的一個包含奇點的圓上的積分。從而有：
之后我們將 在 處展成 級數：

介紹完了留數定理，我們來看看如何利用留數定理來計算實積分。使用留數定理計算實積分一共分為四種類型，我們一種一種來說：

定理：

設

是有理函數且不具有實奇點，且多項式 的階數滿足： ，則有：

證明：

由于 則對于足夠大的 ，我們可以有如下估值：
所以由比較審斂法可知廣義積分收斂。我們現在選取如下積分路徑：
圓心在原點的半徑為 的上半圓，路徑 是在實軸上的直徑，從左到右， 是從右到左的上班圓周。

我們假設這個半圓的半徑充分大，以至于能夠包含這個有理函數 的所有虛部大于零的孤立奇點（即所有上半平面的奇點）。從而，對 的內部由留數定理可以有：
我們將上等式右側的積分分為上半復平面和實軸上的積分：
對于 上的積分我們利用之前的估值可以得到以下不等式：
綜上所述：

例：計算反常積分：

解：復變函數

具有六個一階極點分別是：

其中虛部大于零的極點有：

.且 滿足 。且根據 的形式，我們選擇球極點的留數定理中的第二條從而有：

由定理得：

定理：

設

是一個區域，且 是全純的，且 . 的有限多的孤立奇點都分布在上半平面 ,且 ,則有：

其中

是 主值。

證明：

我們選擇與上面的定理中一樣的積分路徑，從而有如下估值：
其中
為了進行估值，我們使用以下關系：
從而有：
則：

例：計算廣義積分：

解：根據比較審斂法我們知道該反常積分收斂。從而它是下列復積分的實部：

由于

，從而由上定理有：

也就是：

定理：

設

是變量 的有理函數，且 在單位圓周 上沒有奇點，則有：

證明：

上面定理中的右邊我們可以利用留數定理進行改寫：

例：計算積分：

解：

首先，

在單位圓上沒有奇點，從而定義：

的極點是： ,且只有 在單位圓內，則 在 處的留數為：

從而由以上定理有：

定理：

設

是一個有理函數，且在區間 上沒有極點。且 且對于 有：

選擇

的主值支：

證明：

對于這個定理的證明我們找到以下封閉路徑 的圍道積分：

從而：
對于 時的極限值：
由于 ， 有：
且有估值：
利用留數定理有：

例：計算廣義積分：

解：函數

的奇點是 ,滿足上定理的前提條件，所以：

從而由上定理有：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的幂级数展开求积分_[干货]---如何利用留数定理计算积分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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