算法復(fù)雜度及漸進(jìn)符號(hào)

一、算法復(fù)雜度

每一個(gè)程序在運(yùn)行時(shí)，都需要占用一定的計(jì)算機(jī)資源，比如內(nèi)存，磁盤(pán)，這些稱(chēng)之為空間。
計(jì)算過(guò)程中需要判斷，循環(huán)執(zhí)行某些邏輯，周而反復(fù)，這些是時(shí)間。

那么我們可以通過(guò)算法復(fù)雜度理論來(lái)衡量算法的效率。

復(fù)雜度有兩個(gè)維度：時(shí)間和空間。

如果計(jì)算機(jī)的速度越快，那么這個(gè)算法時(shí)間復(fù)雜度越低

如果占用的計(jì)算機(jī)資源越少，那么空間復(fù)雜度越低

我們要選擇復(fù)雜度低的算法，衡量好空間和時(shí)間的消耗，選出適合特定場(chǎng)景的算法。

二、算法規(guī)模

例如：我們要計(jì)算1+2+3+…+100，那么最直觀的寫(xiě)法

package mainimport "fmt"func sum(n int) int {total := 0// 從1加到N，1+2+3+4+5....for i := 1; i <= n; i++ {total += i}return total }func main() {fmt.Println(sum(100)) }

當(dāng)n是一個(gè)比較小的數(shù)字的時(shí)候計(jì)算很快，但是當(dāng)n接近無(wú)限大的時(shí)候，計(jì)算很慢。

所以，算法衡量的是在不同問(wèn)題規(guī)模n下，算法的速度。

在這里，因?yàn)橐h(huán)計(jì)算n-1次，而當(dāng)n無(wú)限大的時(shí)候，常數(shù)項(xiàng)基本忽略不計(jì)，所以這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度我們用**O(n)**表示。

我們還有另外的計(jì)算方式：

func sum2(n int) int {total := ((1 + n) * n) / 2return total }

這次算法只需要執(zhí)行1次，所以這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度是O(1)。可以看出，時(shí)間復(fù)雜度為**O(1)的算法優(yōu)于算法復(fù)雜度為O(n)**的算法

算法的優(yōu)先級(jí)排列如下，一般排在上面的要優(yōu)于排在下面的：

常數(shù)復(fù)雜度：O(1)

對(duì)數(shù)復(fù)雜度：O(logn)

一次方復(fù)雜度：O(n)

一次方乘對(duì)數(shù)復(fù)雜度：O(nlogn)

乘方復(fù)雜度：O(n^2)，O(n3)

指數(shù)復(fù)雜度：O(2^n)

階乘復(fù)雜度：O(n!)

無(wú)限大指數(shù)復(fù)雜度：O(n^n)

三、漸進(jìn)符號(hào)

如何量化一個(gè)復(fù)雜度，到底有多復(fù)雜，計(jì)算機(jī)抽象出了幾個(gè)復(fù)雜度漸進(jìn)符號(hào)。

漸進(jìn)符號(hào)如下： O，ο，Θ，Ω，ω

分別讀作：Omicron（大歐），omicron（小歐），Theta（西塔），Omega（大歐米伽），omega（小歐米伽）。

3.1.漸進(jìn)符號(hào)：θ

假設(shè)算法A的運(yùn)行時(shí)間表達(dá)式：

T(n) = 5 * n^3 + 4 * n^2

如果問(wèn)題規(guī)模n足夠大，那么低次方的獎(jiǎng)項(xiàng)將無(wú)足輕重，運(yùn)行時(shí)間取決于高次方的第一項(xiàng)：5 * n^3。

隨著n的增大，第一項(xiàng)中的常數(shù)也不重要了，所以算法A的運(yùn)行時(shí)間T(n)約等于n^3，記為：

T(n) = θ(n^3)

Θ 的數(shù)學(xué)含義:

設(shè) f(n) 和 g(n) 是定義域 n 為自然數(shù)集合的函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)同階，也就是當(dāng) n 無(wú)窮大時(shí)，f(n)/g(n) 等于某個(gè)大于0的常數(shù) c。

也可以說(shuō)，存在正常量 c1，c2 和 n0，對(duì)于所有 n >= n0，有 0 <= c1 * g(n) <= f(n) <= c2 * g(n)。

那么可以記 f(n) = Θ(g(n))，g(n) 是 f(n) 的漸進(jìn)緊確界。

3.2. 漸進(jìn)符號(hào)：

O 的數(shù)學(xué)含義:

設(shè) f(n) 和 g(n) 是定義域 n 為自然數(shù)集合的函數(shù)， f(n) 函數(shù)的階不高于 g(n) 函數(shù)的階。

也可以說(shuō)，存在正常量 c 和 n0，對(duì)于所有 n >= n0，有 0 <= f(n) <= c * g(n)。

那么可以記 f(n) = O(g(n))。g(n) 是 f(n) 的漸進(jìn)上界。

3.3. 漸進(jìn)符號(hào)：Ω

Ω 的數(shù)學(xué)含義:

設(shè) f(n) 和 g(n) 是定義域 n 為自然數(shù)集合的函數(shù)， f(n) 函數(shù)的階不低于 g(n) 函數(shù)的階。

也可以說(shuō)，存在正常量 c 和 n0，對(duì)于所有 n >= n0，有 0 <= cg(n) <= f(n)。

那么可以記 f(n) = Ω(g(n))。g(n) 是 f(n) 的漸進(jìn)下界。

3.4. 漸進(jìn)分析

上面的定義很復(fù)雜，我們可以來(lái)看圖：

[外鏈圖片轉(zhuǎn)存失敗,源站可能有防盜鏈機(jī)制,建議將圖片保存下來(lái)直接上傳(img-eAR81BRb-1646902918628)(E:\筆記\Go數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法\Go筆記圖片\degree.png)]

當(dāng) n 值超過(guò)某個(gè)值時(shí)，f(n) 被 g(n) 兩條線(xiàn)夾在中間，那么 g(n) 就是漸進(jìn)緊確界。

如果 g(n) 的線(xiàn)在上面，就是漸進(jìn)上界。

如果 g(n) 線(xiàn)在下面，就是漸進(jìn)下界。

我們一般會(huì)評(píng)估一個(gè)算法的漸進(jìn)上界 O，因?yàn)檫@表示算法的最壞情況，這個(gè)上界可以十分不準(zhǔn)確，但我們一般會(huì)評(píng)估得足夠準(zhǔn)確，比如：

設(shè) f(n) = 5 * n^3 + 4 * n^2，我們要求漸進(jìn)上界。

那么：

f(n) = O(n^3)，g(n) = n^3 f(n) = O(n^4)，g(n) = n^4

兩個(gè) g(n) 都是上界，因?yàn)榱?c = 5 時(shí)都存在：0 <= f(n) <= c * g(n))。

我們會(huì)取乘方更小的那個(gè)，因?yàn)檫@個(gè)界更逼近 f(n) 本身，所以我們一般說(shuō) f(n) = O(n^3)，算法的復(fù)雜度為大歐 n 的三次方，表示最壞情況。

同理，漸進(jìn)下界 Ω 剛好與漸進(jìn)上界相反，表示最好情況。比如還是這個(gè)假設(shè)：

設(shè) f(n) = 5 * n^3 + 4 * n^2，我們要求漸進(jìn)下界。

那么：

f(n) = Ω(n^3)，g(n) = n^3 f(n) = Ω(n^2)，g(n) = n^2

兩個(gè) g(n) 都是下界，因?yàn)榱?c =5 時(shí)都存在：0 <= cg(n) <= f(n)。

我們準(zhǔn)確評(píng)估的時(shí)候，要取乘方更大的那個(gè)，因?yàn)檫@個(gè)界更逼近 f(n) 本身，所以我們一般說(shuō) f(n) = Ω(n^3)，算法的復(fù)雜度為大歐米伽 n 的三次方，表示最好情況。

我們發(fā)現(xiàn)當(dāng) f(n) = Ω(n^3) = O(n^3) 時(shí)，其實(shí) f(n) = Θ(n)。

另外兩個(gè)漸進(jìn)符號(hào) ο 和 ω 一般很少使用，指不那么緊密的上下界。

也就是評(píng)估的時(shí)候，不那么準(zhǔn)確去評(píng)估，在評(píng)估最壞情況的時(shí)候使勁地往壞了評(píng)估，評(píng)估最好情況則使勁往好的評(píng)估，但是它不能剛剛好，比如上面的結(jié)果：

f(n) = O(n^3)，g(n) = n^3 f(n) = O(n^4)，g(n) = n^4 f(n) = Ω(n^3)，g(n) = n^3 f(n) = Ω(n^2)，g(n) = n^2

我們可以說(shuō)：

f(n) = ο(n^4)，g(n) = n^4 往高階的評(píng)估，不能同階 f(n) = ω(n^2)，g(n) = n^2 往低階的評(píng)估，不能同階

四、總結(jié)

記號(hào)含義通俗理解

Θ	緊確界	相當(dāng)于"="
O	上界	相當(dāng)于"<="
ο	非緊的上界	相當(dāng)于"<"
Ω	下界	相當(dāng)于">="
ω	非緊的下界	相當(dāng)于">"

我們一般用 O 漸進(jìn)上界來(lái)評(píng)估一個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度，表示逼近的最壞情況。其他漸進(jìn)符合基本不怎么使用。

緊確界 | 相當(dāng)于"=" |
| O | 上界 | 相當(dāng)于"<=" |
| ο | 非緊的上界 | 相當(dāng)于"<" |
| Ω | 下界 | 相當(dāng)于">=" |
| ω | 非緊的下界 | 相當(dāng)于">" |

我們一般用 O 漸進(jìn)上界來(lái)評(píng)估一個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度，表示逼近的最壞情況。其他漸進(jìn)符合基本不怎么使用。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法复杂度及渐进符号的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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