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• 解答

題目

??求下列行列式的值：
$$\left|A\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& a_1{b}_3& a_1{b}_4\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& a_2{b}_3& a_2{b}_4\\ a_3{b}_1& a_3{b}_2& a_3{b}_3& a_3{b}_4\\ a_4{b}_1& a_4{b}_2& a_4{b}_3& a_4{b}_4\end{array}\right|.$$

解答

$A$的每一列$j\left(=1,2,3,4\right)$都有公因數$b_j$，依次進行提取得到
$$\left|A\right|=\left(\prod _{j=1}^4{b}_j\right)\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& a_1& a_1& a_1\\ a_2& a_2& a_2& a_2\\ a_3& a_3& a_3& a_3\\ a_4& a_4& a_4& a_4\end{array}\right|=:\left(\prod _{j=1}^4{b}_j\right)\left|A^{\prime }\right|.\text{\hspace{1em}(1)}$$
$A^{\prime }$的每一行$i\left(=1,2,3,4\right)$都有公因數$a_i$，依次進行提取得到
$$\left|A^{\prime }\right|=\left(\prod _{i=1}^4{a}_i\right)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right|=:\left(\prod _{i=1}^4{a}_i\right)\left|B\right|.\text{\hspace{1em}(2)}$$
很顯然$B$中每一行互成比例（相等），故有
$$\left|B\right|=0.\text{\hspace{1em}(3)}$$
由式（1），式（2），式（3），可得
$$\left|A\right|=0.$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《高等代数学》（姚慕生），复习题一，第1题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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