高等代數–多項式

聲明： 本篇文章內容主要對《高等代數》第三版第一章內容的總結，復習。

數域

按照所研究的問題，我們常常需要明確規定所考慮的數的范圍，在不同的范圍內，所得到的結果可能是不同的。

數的概念經歷了一個長期的發展過程，大體上，是由自然數到整數、有理數，然后是實數，再到復數。
在代數中經常是將有共同性質的對象統一進行討論，關于數的加減乘除等運算的性質統稱為數的代數性質。除了自然數、整數、有理數等集合，有時我們還會碰到一些其它的數的范圍,為了方便起見,當我們把這些數當作整體來考慮的時候,常稱它為一個數的集合,簡稱數集.有些數集也具有與有理數、實數、復數的全體所共有的代數性質.為了在討論中能夠把它們統一起來,我們引入一個一般的概念。

定義1： 設P是由一些復數組成的集合,其中包括0與1. 如果P中任意兩個數(這兩個數也可以相同)的和差、積、商(除數不為零)仍然是P中的數,那么P就稱為一個數域。

重點：

全體有理數組成的集合、全體實數組成的集合、全體復數組成的集合都是數域，這三個數域我們分別用字母Q、R、C來代表.

如果數的集合P中任意兩個數作某一運算的結果都仍在P中,我們就說數集P對這個運算是封閉的。因此,數域的定義也可以說成,如果一個包含0,1在內的數集P對于加法、減法、乘法與除法(除數不為0)是封閉的,那么P就稱為一個數域。

所有的數域都包含有理數域作為它的一部分。

一元多項式

定義2： 設n是一非負整數形式表達式


注意： 區分零多項式和零次多項式。

數域P上的兩個多項式經過加、減、乘等運算后,所得結果仍然是數域P上的多項式，多項式乘積的首項系數就等于因子首項系數的乘積。且有：


和數的運算一樣,多項式的運算也滿足下面的一些規律：


定義4： 所有系數在數域P中的一元多項式的全體,稱為數域P上的一元多項式環, 記為P[x], P稱為P[x]的系數域。

整除的概念

注意：接下來的討論都在某一固定的數域p上的多項式環P[x]中進行的。

例子：


重要性質：

1.如果f(x) | g(x), g(x) | f(x),那么f(x) = cg(x) ,其中c為非零常數。
2.如果f(x) | g(x), g(x) | h(x), 那么f(x) | h(x)(整除的傳遞性)。
3.

**注意·：**兩個多項式之間的整除關系不因為系數域的擴大而改變

最大公因式

定義6： 設f(x), g(x)是P[x]中兩個多項式. P[x]中多項式d(x)稱為f(x), g(x)的一個最大公因式, 如果它滿足下面兩個條件：
1) d(x)是f(x), g(x)的公因式
2)f(x), g(x)的公因式全是d(x)的因式
**注意：**對于任意多項式f(x), f(x)就是f(x)與0的一個最大公因式特別地, 根據定義, 兩個零多項式的最大公因式就是0。


**注意：**我們約定,用 (f(x),g(x)) 來表示首項系數是1的那個最大公因式。

例子：輾轉相除法

定義7：P[x]中兩個多項式f(x), g(x)稱為互素(也稱互質)的, 如果(f(x),g(x))=1。

定理3： P[x]中兩個多項式f(x), g(x)互素的充分必要條件是有P[x]中的多項式u(x), v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.

定理4: 如果(f(x), g(x)) =1,且f(x) | g(x)h(x),那么f(x) I h(x)

推論： 如果f(x) | g(x), h(x) | g(x),且(f(x),h(x)) = 1,那么f(x)h(x) | g(x)

因式分解定理

定義8： 數域P上次數≥1的多項式p(x)稱為域P上的不可約多項式,如果它不能表成數域P上的兩個次數比p(x)的次數低的多項式的乘積。
注意： 討論因式分解的前提是要明確在那個數域中對其進行討論的。一個多項式是否不可約依賴于系數域的，

定理5： 如果p(x)是不可約多項式,那么對于任意的兩個多式f(x), g(x), 由p(x) | f(x)g(x) 一定推出p(x)|f(x) 或者 p(x)|g(x)

因式分解及唯一性定理: 數域P上每一個次數≥1的多項式f(x)都可以唯一地分解成數域P上一些不可約多項式的乘積.

標準分解式： 首項系數為1的不可約多項式。

重因式

多項式函數
定理7： (余數定理)用一次多項式 x-a 去除多項式f(x), 所得的余式是一個常數 ,這個常數等于函數值f(a).

復系數與實系數多項式的因式分解

代數基本定理: 每個次數≥1的復系數多項式在復數域中有一根。

每個次數≥1的復系數多項式,在復數域上一定有一個一次因式。

復系數多項式因式分解定理： 每個次數≥1的復系數多項式在復數域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積

**實系數多項式因式分解定理：**每個次數≥1的實系數多項式在實數域上都可以唯一地分解成一次因式與二次不可約因式的

有理系數多項式

每個次數≥1的有理系數多項式都能唯一地分解成不可約的有理系數多項式的乘積

1.有理系數多項式的因式分解的問題,可以歸結為整(數)系數多項式的因式分解問題,并進而解決求有理系數多項式的有理根的問題
2.在有理系數多項式環中有任意次數的不可約多項式

多元多項式

P34-P39

對稱多項式

P39-P44

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參考書籍：《高等代數》第三版 王萼芳 石生明 修訂 高等教育出版社

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等代数---多项式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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