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https://blog.csdn.net/qiaobinXU/article/details/83115072

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數據結構和算法本身解決的是“快”和“省”的問題，即如何讓代碼運行地更快，如何讓代碼更省存儲空間。所以，執行效率是算法一個非常重要的考量指標。

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如何衡量你寫的代碼的執行效率？

時間、空間復雜度分析。

時間復雜度，全稱：漸進時間復雜度

空間復雜度，全稱：漸進空間復雜度

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為什么需要復雜度分析？

我們可以通過設計、監控來得到算法執行的時間和占用的內存大小。但是這種統計方法有非常大的局限性。也稱作事后統計法。

局限1：測試結果非常依賴測試環境，比如，硬件的不同。

局限2：測試結果受數據規模的影響很大

? ? ? ? ? ? ?比如：對于一個排序算法，待排序數據的有序度不一樣，排序的執行時間就會有很大的差別。除此之外，如果測試數據規模太小，測試結果可能無法真實地反映算法的性能。比如，對于小規模的數據排序，插入排序可能反倒會比快速排序要快。

所以，我們需要一個不用具體的測試數據來測試，就可以粗略地估計算法的執行效率的方法。這就是復雜度分析。

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大O復雜度表示法

T(n)代表執行的時間；n表示數據規模的大小；f(n)表示每行代碼執行的次數總和。

公式中的O，表示代碼的執行時間T(n)與f(n)表達式成正比。

大O的時間復雜度實際上并不具體表示代碼真正的執行時間，而是表示代碼執行時間隨數據規模增長的變化趨勢，所以也叫做漸進時間復雜度（asymptotic time complexity），簡稱時間復雜度。

例子：

int cal (int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i<=n; ++i) {sum = sum + i;}return sum; }

這段很簡單的代碼，求1,2,3……n的累加和。現在我們來估算下這段代碼的執行時間。

從CPU的角度來看，這段代碼的沒一行都執行著類似的操作：讀數據-運算-寫數據。盡管每行代碼對應的CPU執行的個數、執行的時間都不一樣，但是，我們這里只是粗略估計，所以可以假設每行代碼執行的時間都一樣，為unit_time。

第2,3行代碼分別需要1個unit_time的執行時間，第4,5行都運行了n遍，所以需要2n*unit_time的執行時間，所以這段代碼總的執行時間就是（2n+2）*unit_time。大O表示為 T(n) = O(2n+2)。

當n很大時，你可以把它想象成10000、100000。而公式中的低階、常量、系數三部分并不左右增長趨勢，所以都可以忽略。我們只需要記錄一個最大量級就可以了。所以用大O表示法表示剛這段代碼的時間為T(n)=O(n)。

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幾種常見時間復雜度實例分析（圖片來自極客時間）

對于上圖的這些復雜度量級，可以粗略地分為兩類，多項式量級和非多項式量級。

非多項式量級：指數階和階乘階

時間復雜度為非多項式量級的算法問題叫做NP（Non-Deterministic Polynomial，非確定多項式）問題。

當數據規模n越來越大時，非多項式量級算法的執行時間會急劇增加。所以，非多項式時間復雜度的算法其實是非常低效的算法。

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O(1)只是常量級時間復雜度的一種表示方法。只要代碼執行時間不隨n的增大而增長，都記做O(1)

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對數階時間復雜度。下面舉個例子

i = 1; while ( i <= n) {i = i * 2; }

這段代碼的復雜度，只需要分析第三行代碼的循環次數，就能計算，因為第三行代碼是循環次數最多的。

從代碼中可以看出，變量i的值從1開始取，每循環一次就乘以2.當大于n時，循環結束。實際上，變量i的取值就是一個等比數列。

所以需要求解x的值，x = log 2 N (以2為底n的對數)。

由于對數是可以換底的。同時使用大O標記復雜度的時候，是可以忽略系數的，所以寫成?。 如果這段代碼循環了n遍，那就是。歸并排序、快速排序的時間復雜度都是。

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表示代碼的復雜度由兩個數據的規模來決定。

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越高階復雜度的算法，執行效率越低。

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空間復雜度分析

同樣，全稱是漸進空間復雜度（asymptotic space complexity）。表示算法的存儲空間與數據規模之間的增長關系。

常見的空間復雜度：?，,

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總結

時間復雜度分析

1、單段代碼看高頻。比如循環

2、多段代碼取最大。比如一段代碼中有單循環和多重循環，那么取多重循環的復雜度。

3、嵌套代碼求乘機。比如遞歸、多重循環

4、多個規模求加法。比如方法中有兩個參數控制兩個循環次數。那么就取二者復雜度相加。 O(m+n)

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習題練習與問答環節

1、一個二進制數，輸入規模（空間復雜度）是bit。為什么

比如 8 用二進制表示就是 3個bit （2的3次方等于8），16用二進制表示是4個bit。以此類推，n用二進制表示就是個bit。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的（渐进）复杂度分析（上）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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