時間復雜度

1.概念

? ? ?漸進時間復雜度(時間復雜度)是算法效率的度量。在一般情況下，算法基本操作重復執行的次數用T(n)表示。同時用一個輔助函數f(n)，T(n)/f(n)!=0，那么f(n)是T(n)的同數量級函數，T(n)=O(f(n))，這就稱為漸進時間復雜度。

2.大(O)表示法

? ? ?T(n)=O(f(n))稱為大(O)表示法。算法的復雜度可以從最優、最壞、平均三個角度來評估，一般以最壞角度來進行時間復雜度的評估。大(O)表示法的時間復雜度的函數階一般有以下幾種情況，分別是O(1)，O(n)，O(n^x)，O(log₂n)，O(nlog₂n)等等。并且如果函數階里同時出現多種函數組合，則以階數最大的函數作為時間復雜度。并且如果函數系數非1，則化為1。

3.時間復雜度實例

3.1 常數階?

int sum=0,n=10;//執行1次 sum+=n*(n+1);//執行1次 sum++;//執行1次 cout<<sum;//執行1次

? ? ? ?此段代碼執行4次，執行次數與n并無關系，所以根據大(O)表示法推導，我們應該將4改為1，即結果都應該為O(1)。

3.2 線性階

int sum=0; for(int i=0;i<n;i++){sum++;cout<<sum; }

? ? ? ? 此段代碼是單層循環，運行了n次，所以時間負責度是O(n)。

3.3 對數階

int num=1; while(num<n){num*=2; }

? ? ? ? num初始值為1，不斷自乘2逼近n，設循環次數為x，由數學公式2x=n，x=log_2n次。

3.4 平方階

int n=10; for(int i=0;i<n;i++)for(int j=10;j>i;j--){} }

? ? ? ?由上述線性階的時間復雜度說明容易得知在外層循環中，時間復雜度為O(n)，再經過內層循環，兩個O(n*n)的結果為O(n²)，冪次階同理。

3.4 階乘階

int fac(int n){cout<<n*fac(n-1); }

? ? ? ? 以上代碼是一個階乘函數，顧名思義，為O(n!)。

4.復雜度圖表比較

n	l? ogn	nlogn	n2	2?	n!
5	2	10	25	32	120
10	3	30	100	1024
50	5	250	2500	約10^15	約3.0*10^64
100	6	600	10000	約10^30	約9.3*10^157
1000	9	9000	1000 000	約1	約4.0*10^2567

常用的時間復雜度按照耗費的時間從小到大依次是：O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)<O(2?)<O(n!)

參考來源：

1.數據結構

2.大話數據結構

約3.0*10^64

總結

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