短圓弧(一般為30o以下圓心角所對(duì)應(yīng)的圓弧)的測(cè)量在實(shí)際測(cè)量中有許多應(yīng)用，如測(cè)量樣板、異形零件等。常用的非完整圓弧半徑測(cè)量方法包括圓弧樣板法、卡尺法和弓高弦長(zhǎng)法等，這些方法的精度、量程、特點(diǎn)和應(yīng)用場(chǎng)合不同。圓弧樣板法僅用于檢驗(yàn)圓弧半徑是否在公差帶范圍內(nèi)；卡尺法適用于精度不高的場(chǎng)合，測(cè)量范圍受弧長(zhǎng)的限制，卡尺量程受橫向定位架的限制；而弓高弦長(zhǎng)法的操作比較繁瑣。上述方法一般只用于對(duì)工件做靜態(tài)的離線測(cè)量。短圓弧測(cè)量的難點(diǎn)在于圓弧上的特征點(diǎn)數(shù)少，受到的噪聲大。下面介紹用三坐標(biāo)(CMM)對(duì)大半徑短圓弧的測(cè)量方法。

CMM測(cè)量大半徑短圓弧的誤差分析

從測(cè)量原理上講，CMM直接測(cè)得的是被測(cè)工件上一些特征點(diǎn)的坐標(biāo)位置，為了獲得被測(cè)參數(shù)值，需要通過測(cè)量軟件的數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算。因此，被測(cè)參數(shù)的測(cè)量精度主要與CMM的系統(tǒng)誤差、測(cè)頭系統(tǒng)誤差、工件形狀誤差、算法誤差、環(huán)境誤差、采樣策略和敏感系數(shù)等因素有關(guān)。而對(duì)于大半徑短圓弧測(cè)量，采樣策略和敏感系數(shù)對(duì)精度的影響更大。

1、采樣策略對(duì)CMM測(cè)量的影響

采樣策略是指如何在被測(cè)物體表面合理安排采樣點(diǎn)，采集多少點(diǎn)最為合理，且使檢測(cè)誤差達(dá)到最小。所謂合理是指在同一臺(tái)測(cè)量機(jī)上，在相同的環(huán)境下，測(cè)量同一個(gè)零件，怎樣安排測(cè)量點(diǎn)的位置和測(cè)量點(diǎn)數(shù)，可以獲得較高的測(cè)量準(zhǔn)確度，且耗費(fèi)的時(shí)間比較經(jīng)濟(jì)。采樣數(shù)量和采樣位置會(huì)影響測(cè)量結(jié)果的原因在于：

1)被測(cè)元素并非理想元素，存在形狀誤差；

2)CMM采點(diǎn)及計(jì)算方法有局限性，存在測(cè)量誤差。

以圓為例說明采樣策略對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響：圖1實(shí)際圓形具有三葉形誤差，當(dāng)測(cè)量點(diǎn)在a、b、c三點(diǎn)時(shí)，測(cè)得的直徑為最小；當(dāng)測(cè)量點(diǎn)選擇在A、B、C三點(diǎn)時(shí)，測(cè)得的直徑最大，由于工件任意擺放，測(cè)得的可能是他們之間的任意值。這是被測(cè)元素形狀誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。

圖2為采樣點(diǎn)對(duì)圓參數(shù)測(cè)量結(jié)果的影響，如果采樣點(diǎn)選在A、B、C三點(diǎn)，測(cè)得的圓直徑如圖中圓3所示，如果選在A'、B'、C'三點(diǎn)，則測(cè)得的直徑很大，如圓1所示；若在A'、C'兩點(diǎn)的測(cè)量誤差向外，而B'點(diǎn)的誤差向內(nèi)，測(cè)得的圓直徑更大，如圓4所示。

由圖1和圖2可以看出，采樣策略對(duì)測(cè)量結(jié)果影響較大，因此如對(duì)測(cè)量結(jié)果有異議，可考慮改變采樣策略多測(cè)幾次，然后分析結(jié)果，給出正確的測(cè)量數(shù)據(jù)。

2. 敏感系數(shù)對(duì)CMM測(cè)量的影響

測(cè)量機(jī)測(cè)空間點(diǎn)坐標(biāo)精度很高，但并不等于對(duì)具體的對(duì)象(例如圓弧)所作的結(jié)論精度很高，這是因?yàn)閺狞c(diǎn)坐標(biāo)到具體對(duì)象所需的結(jié)論參數(shù)有一個(gè)計(jì)算的過程(所以測(cè)量機(jī)是一個(gè)測(cè)量加計(jì)算的設(shè)備)，很多問題是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的，測(cè)量機(jī)的數(shù)學(xué)方法一般基于空間解析幾何的運(yùn)算。

例如用三點(diǎn)來測(cè)圓弧，是用每?jī)牲c(diǎn)連線的中垂線相交來求圓弧半徑及中心點(diǎn)位置，當(dāng)這三點(diǎn)所夾中心角越小時(shí)，各點(diǎn)的精度對(duì)兩點(diǎn)中垂線相交點(diǎn)位置影響就越大，常用“敏感系數(shù)”來量化的表示結(jié)論和初始參數(shù)之間的關(guān)系，即用它來評(píng)價(jià)測(cè)量點(diǎn)誤差對(duì)被測(cè)結(jié)果的影響。對(duì)于一些一般數(shù)學(xué)方法處理，這種方法應(yīng)當(dāng)重復(fù)性好，并為生產(chǎn)所接受。

敏感系數(shù)表示測(cè)量結(jié)果受初始測(cè)量要素影響的大小。以下是對(duì)于大半徑短圓弧測(cè)量中敏感系數(shù)的分析。

三點(diǎn)測(cè)圓時(shí)兩點(diǎn)夾角對(duì)中心位置及半徑測(cè)量的影響一大半徑短圓弧測(cè)量的理論解釋：若三點(diǎn)測(cè)圓時(shí)，三點(diǎn)相對(duì)于Y軸對(duì)稱分布，兩點(diǎn)間中心角為θ，那么半徑對(duì)測(cè)點(diǎn)的徑向敏感系數(shù)σ1，(如圖3所示)由下述公式?jīng)Q定，

圓心X坐標(biāo)對(duì)測(cè)點(diǎn)徑向位置的敏感系數(shù) σ2(如圖4所示)為

圓心Y坐標(biāo)對(duì)測(cè)點(diǎn)徑向位置的敏感系數(shù) σ3(如圖5所示)為

面對(duì)同一個(gè)檢測(cè)對(duì)象，根據(jù)不同的檢測(cè)方案，不同的中心夾角，可以測(cè)出不同的結(jié)果，而且可能有不同的精度，例如三點(diǎn)測(cè)圓測(cè)量方案1(圖1)比測(cè)量方案2(圖2)的誤差要小得多，所以前面引入了一個(gè)敏感系數(shù)的概念。在圖2中假設(shè)圓是理想圓，但測(cè)量機(jī)不是理想機(jī)，即所測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)位置有變化，假設(shè)每一點(diǎn)徑向的精度為1um，當(dāng)弧的中心角為120o時(shí)，半徑的偏差為0.5um，而弧的中心角為10o時(shí)，半徑偏差達(dá)到80um。

圖3~圖5中可以看到當(dāng)中心角小于30°時(shí)，半徑及弧中心位置對(duì)取點(diǎn)的徑向誤差的敏感系數(shù)均急劇變大，相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差亦大大加大。

經(jīng)分析，短圓弧(圓心角小于30度以下)之所以成為難題，就是無論你用什么測(cè)量?jī)x器，用什么測(cè)量方法，都必須在測(cè)量的短圓弧上取點(diǎn)。由于各種因素，也就必然會(huì)產(chǎn)生取點(diǎn)誤差。例如被測(cè)的短圓弧R值的敏感系數(shù)σ1，按圖3和圓心坐標(biāo)Y的敏感系數(shù)σ3，按圖5所示為100左右。在一般的儀器上正常的采點(diǎn)誤差，假設(shè)為0.003mm，然后還用通常的計(jì)算方法，那么最后反映到R值和圓心坐標(biāo)Y上，誤差就會(huì)擴(kuò)大100倍而成了0.003 x 100=0.3mm。這無論是通過計(jì)算分析，還是實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)都能證明的事實(shí)，并已在精密測(cè)量界得到了確認(rèn)。那么這擴(kuò)大了100倍后的誤差結(jié)果顯然是無法接受的。所以短圓弧是無法用通常測(cè)量圓的方法來進(jìn)行。

減小CMM測(cè)量大半徑短圓弧誤差的方法

1)密集采點(diǎn)

利用已知點(diǎn)的坐標(biāo)值，通過最小二乘的數(shù)學(xué)方法，回歸求出圓弧半徑及圓心，為了提高精度要密集采點(diǎn)甚至掃描采點(diǎn)的方法，但在中心夾角小時(shí)，誤差仍較大。如果是測(cè)量整圓的話，測(cè)量的點(diǎn)數(shù)奇、偶都沒有太大的影響。但是如果是測(cè)量圓弧段的話，測(cè)量的點(diǎn)數(shù)要盡量選擇奇數(shù)，因?yàn)橹挥衅鏀?shù)才能夠采到圓孤的最高點(diǎn)，而且在短圓弧上點(diǎn)數(shù)應(yīng)該盡可能的多點(diǎn)，采的點(diǎn)數(shù)越多軟件越能通過最小二乘法原理反映圓弧本身。

2)分段密集采樣的圓心的最小二乘法

分別在短圓弧三點(diǎn)附近密集采點(diǎn)，此三點(diǎn)應(yīng)盡可能遠(yuǎn)離，每一點(diǎn)附近的點(diǎn)的數(shù)據(jù)作為一組，共三組數(shù)據(jù)，每組有n個(gè)數(shù)據(jù)；每組取一點(diǎn)，共三點(diǎn)，計(jì)算一個(gè)圓心及半徑，互相組合后有N=n3個(gè)圓心，把N個(gè)圓心用最小二乘數(shù)學(xué)方法回歸，得一點(diǎn)，作為實(shí)際圓心，把各點(diǎn)到此圓心的距離的平均值作為半徑，最大、最小距離作為實(shí)際公差。

3)圓的最小二乘法+最小條件逼近法

用最小二乘法求出初始圓心，根據(jù)精度確定收斂值；預(yù)置疊代步長(zhǎng)，找出最大距離及最小距離點(diǎn)，按“靠近最大距離點(diǎn)，遠(yuǎn)離最小距離點(diǎn)”的原則進(jìn)行逼近，直到滿足收斂值，這時(shí)確定了圓心，隨之確定了半徑。

4)圓心固定法

短圓弧的圓心坐標(biāo)與R值，在圖紙上標(biāo)有名義值和公差值。從數(shù)學(xué)角度講，零件上的短圓弧由設(shè)計(jì)確定，這圓心坐標(biāo)與R值是一對(duì)完全相關(guān)量，只要確定了圓心坐標(biāo)值，就能相應(yīng)確定R值。無論從設(shè)計(jì)者講或?qū)Χ虉A弧的使用功能特性講，還是從加工短圓弧的工藝角度講也都是以圓心坐標(biāo)為基準(zhǔn)值來計(jì)算圓弧。

基于上述思想，先按圖紙建立被測(cè)工件的零件坐標(biāo)系，圓心可以通過其他的元素測(cè)量和計(jì)算得到，誤差只是產(chǎn)生在短圓弧半徑R值的計(jì)算上。用三坐標(biāo)測(cè)頭在短圓弧上采點(diǎn)，每采一點(diǎn)就計(jì)算出該點(diǎn)到該圓心的距離，輸入圓弧R名義值及其公差來判斷是否合格。

用同樣的方法在短圓弧的起點(diǎn)、終點(diǎn)和中間點(diǎn)，分別測(cè)出其半徑值都在公差范圍內(nèi)為合格，只要有超差，就判不合格。

結(jié)語：

關(guān)于大半徑短圓弧的測(cè)量，必須依據(jù)實(shí)際零件的要求，結(jié)合企業(yè)的自身?xiàng)l件，找尋切實(shí)可行的測(cè)量方法來指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)踐。相信隨著測(cè)量技術(shù)的不斷提升，會(huì)出現(xiàn)更多經(jīng)濟(jì)可行的測(cè)量方法。

總結(jié)

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