作者：??固態(tài)二氧化碳?? (主頁)
鏈接：[概率論]圖像里的"白噪聲"——電視機(jī)搜不到臺時雪花斑點(diǎn)的形成原因 (不信謠,不傳謠,與宇宙微波背景輻射沒有任何關(guān)系) - 固態(tài)二氧化碳的博客 - CSDN博客
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發(fā)表時間：2019年11月05日 18:14:07
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??最近剛剛上了概率論與數(shù)理統(tǒng)計的課,了解了一些概率方面的知識,正好聯(lián)想起了生活中的一個隨機(jī)噪聲問題,故寫一篇文章來探討一下這個問題。
??我們都知道在電視機(jī)搜不到臺時,會出現(xiàn)雜亂無章,看起來十分不舒服的灰色雪花斑點(diǎn),而在收音機(jī)搜不到臺時,則會發(fā)出類似下大雨的噪聲。而它們在原理上其實(shí)是一樣的,都是由隨機(jī)信號產(chǎn)生出來的效果。在搜不到臺時,接收到的信號是雜亂無章的,類似于隨機(jī)變量,而這些信號數(shù)字化后就類似于隨機(jī)數(shù)序列。將隨機(jī)數(shù)序列解碼后,得到的聲音/圖像信息,正是類似下大雨的噪聲和灰色雪花斑點(diǎn)。前者又稱"白噪聲",它是包含了所有頻率信號的聲音,且在各個頻率處的功率譜密度均相等。我們知道,白光包含了所有頻率的可見光,在各個頻率處光功率相等,換句話說,白光就是由相等強(qiáng)度的所有顏色(頻率)的可見光混合而成的。而隨機(jī)噪聲的頻譜分布正好符合白光的特點(diǎn),因此得名"白噪聲"。
??電視機(jī)的灰色雪花斑點(diǎn),原理上和白噪聲是相同的,都是隨機(jī)信號產(chǎn)生的噪聲,所以這雪花斑點(diǎn)也屬于一種"白噪聲",不過這是圖像上的白噪聲,但為了簡化,在下文中我將其簡稱為"白噪聲"。
??(關(guān)于聲音中的白噪聲,由于我還沒有了解關(guān)于信號與聲音方面的知識,所以在這篇文章中我不會做相關(guān)介紹,不過我在以后的文章中還是會寫的)

辟謠時間:
??另外附上一個在網(wǎng)上流傳的比較常見的一種錯誤說法,就是說白噪聲和雪花背景來自于所謂的宇宙"微波背景輻射",其實(shí)這種說法完全是錯誤的,希望大家不要以訛傳訛。
??白噪聲和雪花背景的確是隨機(jī)信號輻射引起的,但來源肯定不是宇宙背景輻射。因?yàn)橛钪婵臻g離地面相當(dāng)遠(yuǎn),而本身微波背景輻射是非常微弱的,強(qiáng)度相當(dāng)小,這些輻射經(jīng)過大氣層后會衰減很多,而且地球周圍其他信號的干擾會使得探測背景輻射愈發(fā)困難。在其他信號面前,這一點(diǎn)輻射可以說是九牛一毛,微不足道,完全可以忽略不計。所以"宇宙背景輻射說"是完全站不住腳的。
??這些信號真正的來源是電視機(jī)周圍空間中的混雜的其他干擾信號,以及電視機(jī)自身磁場產(chǎn)生的信號,這些充斥在電視機(jī)周圍的無序隨機(jī)信號才是導(dǎo)致白噪聲和雪花信號的形成的根本原因。在具體分析之前,我必須先澄清這一點(diǎn)。

??進(jìn)入正題。電視機(jī)無臺時的灰色斑點(diǎn)是隨機(jī)的圖像信號,那么我們生成一個隨機(jī)的位圖文件,得到的就是這樣的圖案。現(xiàn)在我們用Winhex軟件生成一段隨機(jī)序列,并且放入BMP文件的數(shù)據(jù)段內(nèi)。BMP文件由文件頭和數(shù)據(jù)段組成,文件頭包括圖像的長寬,色深等信息,數(shù)據(jù)段則記錄著每個像素的顏色。

BMP文件結(jié)構(gòu)

??這是一個2048×1536的隨機(jī)圖像,文件頭表示圖像尺寸為2048×1536,數(shù)據(jù)段則為WinHEX生成的隨機(jī)序列,生成方法如下:

??生成效果如下:

??這就很像電視機(jī)無臺時的灰色斑點(diǎn)了。但是,這種灰色究竟是怎么樣的一種灰色呢?這里就需要用到概率論的知識了。
??我們都知道,電子圖像是用RGB表示的,用RGB三個通道的值,來表示RGB三種顏色的深淺程度。利用不同深淺的三種顏色,就可以合成出各種不同的"彩色"(這里的"彩色"實(shí)際上是利用了人眼不能區(qū)分同色異譜的光的特點(diǎn),用三種顏色合成出的"彩色",達(dá)到欺騙人眼的目的,同時也節(jié)省了顯示器的成本。如果我們不這樣做,那么圖像就得像聲音一樣,需要使用不同頻率的光,進(jìn)行振動波形描述來表示,這樣顯然增加了顯示器的硬件制造成本,同時也增加了圖像的存儲體積,造成了空間浪費(fèi),顯得很不經(jīng)濟(jì)劃算。所以我們能用RGB合成出各種色彩,其實(shí)只是利用了人眼視覺上的弱點(diǎn),投機(jī)取了個巧罷了)。而雪花斑點(diǎn)本質(zhì)上是隨機(jī)圖像,圖像中RGB三個通道的值均為隨機(jī)數(shù),所以RGB三個通道的地位其實(shí)是平等的,平均下來的值(數(shù)學(xué)期望)也是相等的,因此圖像會呈現(xiàn)出灰色。但是,這種灰色的灰度值到底是多少呢?下面我們就要進(jìn)行計算。
??在進(jìn)行計算之前,我們首先需要了解gamma值的概念。因?yàn)殡娔X圖像所存儲的灰度值與實(shí)際的亮度并不成正比,不能直接進(jìn)行加和,否則會得到錯誤的結(jié)果。
??電腦圖像中所存儲的灰度值,有時又被稱為"亮度",實(shí)際上是心理亮度。比如說(127.5,127.5,127.5)的灰色,在心理感知上的亮度,是(255,255,255)的白色的一半。但是實(shí)際上的物理功率并非是一半,而是$(\frac{1}{2}{)}^{2.2}\approx 0.21763764$倍,這是怎么回事呢?
??原來,物理亮度由功率決定,與功率成正比,而人眼對亮度的感知與功率并不成正比,而是冪函數(shù)的關(guān)系,這個函數(shù)的指數(shù)我們通常稱作伽馬(gamma)值,符號為γ。如果我們把物理亮度(相對功率)記為$L_p$,心理亮度(計算機(jī)圖像中存儲的值)記為$L$,則有$L_p=L^{\gamma }$。對于人眼而言,這個伽馬值通常在1.8~2.6之間,而在絕大多數(shù)電腦上,這個值取的是2.2,所以我們有$L_p=L^{2.2}$。
??而顏色的加和是物理亮度的相加,并非心理亮度,所以RGB顏色值不能直接相加,如果這樣做就是無意義的,會計算出錯誤的值。所以我們先要將RGB通道的值換算成物理亮度,然后再進(jìn)行計算。但是最后計算得到的值又要換算成心理亮度,才能變成RGB通道的值,存儲在圖像中。因此實(shí)際上我們要進(jìn)行兩步換算后才能得到最終的值。

??我們知道,隨機(jī)圖像的RGB三個通道的值均為隨機(jī)數(shù)。為了計算方便,我們先將其進(jìn)行歸一化,換算成0~1之間的值,這樣RGB三個通道的值就都服從0~1區(qū)間上的均勻分布。由于RGB三個通道在這里的地位是平等的,所以我們只取其中的一個值進(jìn)行分析,將其記為隨機(jī)變量$X$,則$X～U(0,1)$。
??將$X$對應(yīng)的物理亮度記為$Y$,則$Y=X^{2.2}$。
??我們看到的雪花斑點(diǎn)圖像的最終效果,其實(shí)是許多像素顏色值的平均值(數(shù)學(xué)期望),像素越多,偏差程度(方差)越小(大數(shù)定律),看起來灰色越均勻。前面我們說過,顏色的加和是按照物理亮度計算的,亮度的平均值,也就是單位面積上的亮度,是先將一定面積的像素亮度進(jìn)行加和,再除以總面積。這個過程需要用到加法運(yùn)算,所以我們只能對物理亮度進(jìn)行這樣的運(yùn)算,也就是求物理亮度$Y$的數(shù)學(xué)期望$E(Y)$,然后再換算成計算機(jī)圖像里的灰度值。
??設(shè)隨機(jī)變量$X$具有概率密度$f_X(x)$,$m<x<n$,函數(shù)$g(x)$在$(m,n)$可導(dǎo)且在$(m,n)$恒有$g^{\prime }(x)>0$(或$g^{\prime }(x)<0$),則$Y=g(X)$是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為
$$f_Y(y)=\{\begin{array}{rlr}& f_X[h(y)]|h^{\prime }(y)|& (\alpha <y<\beta )\\ & 0& (其他)\end{array}$$

??其中$\alpha =min[g(m),g(n)]$,$\beta =max[g(m),g(n)]$,$h(y)$是$g(x)$的反函數(shù)。

??在這里,$Y=X^{2.2}$,$g(x)=x^{2.2}$,$h(y)=y^{\frac{1}{2.2}}$,$h^{\prime }(y)=\frac{1}{2.2}{y}^{?\frac{1.2}{2.2}}$。
??由于$X～U(0,1)$,故
$$f_X(x)=\{\begin{array}{rlr}& 1& (0<x<1)\\ & 0& (其他)\end{array}$$
??所以
$$f_Y(y)=?\begin{array}{rlr}& f_X(y^{\frac{1}{2.2}})|\frac{1}{2.2}{y}^{?\frac{1.2}{2.2}}|& (0<y<1)\\ & 0& (其他)\end{array}=?\begin{array}{rlr}& \frac{1}{2.2}{y}^{?\frac{1.2}{2.2}}& (0<y<1)\\ & 0& (其他)\end{array}$$

??$Y$的數(shù)學(xué)期望$E(Y)={\int }_0^{1}y?\frac{1}{2.2}{y}^{?\frac{1.2}{2.2}}\mathrm{d}y={\int }_0^1\frac{1}{2.2}{y}^{\frac{1}{2.2}}\mathrm{d}y=[\frac{1}{2.2}?\frac{2.2}{3.2}{y}^{\frac{3.2}{2.2}}{]}_0^1=[\frac{1}{3.2}{y}^{\frac{3.2}{2.2}}{]}_0^1=\frac{1}{3.2}$
??即物理亮度的平均值為$\frac{1}{3.2}$,換算成RGB通道值(歸一化)為$\sqrt[2.2]{\frac{1}{3.2}}\approx 0.58936776$,則實(shí)際存儲RGB值為$255\sqrt[2.2]{\frac{1}{3.2}}\approx 150.288778$,四舍五入為$150$。因此我們得出結(jié)論,電視機(jī)搜不到臺時灰色雪花斑點(diǎn)對應(yīng)的灰色值為(150,150,150),即#969696。下面我們來對比一下雪花斑點(diǎn)圖像以及(150,150,150)灰色純色圖像,看看他們是否相近。

??兩者看上去已經(jīng)比較接近了,但是前面一幅圖更加雜亂。事實(shí)上在同樣大小的區(qū)域里,如果把前面一幅圖像素做得足夠多,密度足夠大,肉眼看上去就和后面一幅幾乎沒有區(qū)別了。原因是像素數(shù)增多,根據(jù)大數(shù)定律,其顏色的平均值的數(shù)學(xué)期望不變,而方差會減小,即整體偏離程度減小,整幅圖看起來就更加均勻,雜點(diǎn)占比更小,更接近于純色的灰色。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[概率论]图像里的“白噪声”——电视机搜不到台时雪花斑点的形成原因 (不信谣,不传谣,与宇宙微波背景辐射没有任何关系)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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