同步發電機轉子的轉動慣量與運動方程（二） 同步發電機的轉子運動方程

由于問題已經特化，因此在（一）部分的計算公式中，轉矩、角速度等矢量都共線，此時為了簡化計算，如果不做特殊說明，下面的公式均為標量計算。若出現矢量、相量，則用加粗的形式給出。

2.1轉子運動中的物理量

2.1.1 轉子運動中的“速度”

需要指出的是，在同步發電機的應用中，由于極對數p的存在，而角速度ω又指的是電氣角速度，轉子在進行旋轉時又會有一個機械角速度Ω。因此要明確機械角速度Ω、電氣角速度ω、定子電流頻率f之間的關系：$$\omega =p\Omega$$ $$f=\frac{np}{60}$$ $$\omega =2\pi f$$ 式子中，Ω為機械角速度（rad·s^-1），ω為電氣角速度（rad·s^-1），f為定子電流頻率（Hz，s^-1），p為極對數。依照電力行業標準，我國電力系統的標準電流頻率為50 Hz；而同步發電機根據一次能源的不同，極對數p會有不同的選擇：例如，對于水輪機而言，以凸極機居多，若采取四對極設計，則其額定轉速為n_N=750 r/min，對汽輪機而言，以隱極機居多，即只有一對極，則其額定轉速為 n_N=3000 r/min。

2.1.2 一些會用到的標幺值

物理量（有名值）標幺值基準值量綱備注

力矩（轉矩）T	$$T_B=\frac{S_B}{{\Omega }_0}$$	SB：VA（N·m·s?1，kg·m2·s?3）
電氣角速度ω	$${\omega }_B={\omega }_0=2\pi f_0$$	ω0為同步角速度，s?1
時間t	$$t_B=\frac{1}{{\omega }_0}=\frac{1}{2\pi f_0}$$	ω0為同步角速度，s?1

2.1.3 轉動慣量與慣性時間常數

發電機組慣性時間常數T_J是指發電機的轉軸上加額定轉矩T_N后，轉子從停頓狀態加速到額定轉速 所需要的時間。直觀來講，如果發電機組慣性時間常數T_J越小，說明轉子越容易加速。在標幺值系統中，轉動慣量需要轉換成慣性時間常數（單位：s）。
在不考慮額外阻尼作用的情況下，同步發電機轉子的機械角加速度與作用在其旋轉軸上的不平衡轉矩應滿足：$$J\alpha =J\frac{d\Omega }{dt}=\Delta T=T_T?T_E$$ 類似于平移運動中的牛頓第二定律： $$ma=m\frac{dv}{dt}=F$$ 其中，α為轉子機械角加速度（rad·s^-2）；Ω為轉子機械角速度（rad·s^-1）；J為轉子的轉動慣量（kg·m²）；ΔT為作用在轉子旋轉軸上的不平衡轉矩（N·m kg·m²·s^?2），T_T為原動機機械轉矩（相當于驅動力），TE為發電機電磁轉矩（相當于負荷帶來的阻力）；t為時間（s）。上述物理量除了J與t之外，都是共線的矢量，因此，在接下來的計算中，可以僅靠其數值進行計算，而使用正負區分方向。
當轉子以額定機械角速度Ω₀（同步轉速）旋轉時，其旋轉動能W_k（單位：J）為： $$W_k=\frac{1}{2}J{\Omega }^2$$ $$J=\frac{2W_k}{{\Omega }_0^2}$$ $$J\frac{d\Omega }{dt}=\Delta T$$ 因此有： $$\frac{2W_k}{{\Omega }_0^2}?\frac{d\Omega }{dt}=\Delta T$$ 轉換成標幺值下的表述（標幺值的右下角會加_*號）： $$\frac{\frac{2W_k}{{\Omega }_0^2}}{\frac{S_B}{{\Omega }_0}}?\frac{d\Omega }{dt}=\frac{2W_k}{S_B?{\Omega }_0}?\frac{d\Omega }{dt}=\Delta T_{?}=T_T??T_E?$$ 同時應滿足 $$\Omega =\frac{\omega }{p}$$ $${\Omega }_0=\frac{{\omega }_0}{p_0}$$ 其中，ω₀ = ω_N 均為同步電氣角速度。因此，可以歸納出： $$\frac{2W_k}{S_B?{\omega }_0}?\frac{d\omega }{dt}=\frac{T_J}{{\omega }_0}?\frac{d\omega }{dt}=\Delta T_{?}$$ $$T_J=\frac{2W_k}{S_B}=\frac{J{\Omega }_0^2}{S_B}=\frac{J{\omega }_0^2}{S_B?p^2}$$ 其中，T_J為發電機組的慣性時間常數（s）。需要注意的是，有些外文文獻會使用H來表示慣性時間常數： $$2H=T_J$$

2.1.4 功角的定義

發電機轉子的q軸以電氣角速度ω旋轉（穩態情況下的發電機空載電動勢E_q位于q軸的方向上），端電壓U以同步電氣角速度ω₀旋轉。
def. 1 功角
定義功角δ為，發電機轉子的q軸與端電壓U之間的夾角。
由于q軸（包括E_q）與端電壓U在空間中都是旋轉的，但是在額定工作狀態下，ω=ω₀，因此，它們之間的空間位置可以保持相對靜止，因此此時功角δ也保持不變。一旦發生擾動（不論擾動的大小），導致ω不等于ω₀，此時，δ也會隨時間變化： $$\frac{d\delta }{dt}=\omega ?{\omega }_0$$ $$\frac{d^2\delta }{d{t}^2}=\frac{d\omega }{dt}$$

2.2 同步發電機的轉子運動方程

為了簡化分析，接下來的方程都是建立在極對數p為1的基礎上的。此時有ω=Ω。因此，在不考慮阻尼的情況下，純有名值形式下的轉子運行方程（搖擺方程）為： $$\frac{d\delta }{dt}=\omega ?{\omega }_0$$ $$J\frac{d\omega }{dt}=T_T?T_E=\frac{P_T}{\omega }?\frac{P_E}{\omega }$$ 或者 $$\frac{d\delta }{dt}=\omega ?{\omega }_0$$ $$J\omega \frac{d\omega }{dt}=P_T?P_E$$

2.2.1 運動方程中的第一項標幺化

$$\frac{d\delta }{dt}=({\omega }_{?}?1)?{\omega }_0$$

2.2.2 運動方程中的第二項標幺化

轉矩與轉速之積為該轉矩的功率，且 $$\frac{\Omega }{{\Omega }_B}=\frac{\omega }{{\omega }_B}={\omega }_{?}$$ 因此在標幺值下，有： $$P_T?={\omega }_{?}?T_T?$$ $$P_E?={\omega }_{?}?T_E?$$ 因此針對運動方程中的第二項： $$J\frac{d\omega }{dt}=T_T?T_E=\frac{P_T}{\omega }?\frac{P_E}{\omega }$$ 可以按如下形式化簡： $$\frac{J}{\frac{S_B}{{\omega }_0}}?\frac{d\omega }{dt}=\frac{T_T}{\frac{S_B}{{\omega }_0}}?\frac{T_E}{\frac{S_B}{{\omega }_0}}=\frac{P_T}{\omega ?\frac{S_B}{{\omega }_0}}?\frac{P_E}{\omega ?\frac{S_B}{{\omega }_0}}$$ $$\frac{J{\omega }_0^2}{S_B}?\frac{d{\omega }_{?}}{dt}=T_T??T_E?=\frac{P_T?}{{\omega }_{?}}?\frac{P_E?}{{\omega }_{?}}$$ 同時，在標幺值下，一般認為電氣角速度ω_* 變化不大，一般取ω _* = 1 。因此，可以進一步進行簡化：$$T_J\frac{d{\omega }_{?}}{dt}=T_T??T_E?\approx P_T??P_E?$$ 因此，進一步推導出： $$T_J\frac{d{\omega }_{?}}{dt}=P_T??P_E?$$

在標幺值下，可以更加方便地討論阻尼帶來的影響：轉子在旋轉中受到的風阻、轉軸與軸承之間的摩擦力。這些摩擦力對轉子產生阻尼轉矩，在標幺值下，近似認為該轉矩的大小正比于電氣角速度ω_*，比例系數稱為風阻系數D（顯然，D沒有量綱）。
因此，考慮阻尼效果的運動方程中的第二項的表達為： $$T_J\frac{d{\omega }_{?}}{dt}=P_T??P_E??D({\omega }_{?}?1)$$

2.2.3 最常用轉子運動方程形式

綜合2.2.1與2.2.2，就可以得到最常用的轉子運動方程的標幺形式： $$\frac{d\delta }{dt}=({\omega }_{?}?1){\omega }_0$$ $$T_J\frac{d{\omega }_{?}}{dt}=P_T??P_E??D({\omega }_{?}?1)$$ 再省略表征標幺值的下標“*”，就得到了教材上最常見的形式： $$\frac{d\delta }{dt}=(\omega ?1){\omega }_0$$ $$T_J\frac{d\omega }{dt}=P_T?P_E?D(\omega ?1)$$

雖然看起來這個方程組是線性的，但我們在這里并沒有給出P_E的完整表達，它的存在就已經決定了方程組的非線性，并在接下來的分析里給我們帶來無窮無盡的麻煩：這一組方程將是以小干擾法分析靜態穩定的最核心方程。

2.2.4 不同形式的轉子運動方程

根據電氣角速度ω、時間t是有名值還是標幺值，標幺值下的轉子運動方程有多種表達：

不管怎樣，在使用轉子運動方程時，一定要做的就是通過判斷各個物理量的量綱，以確定各個物理量是標幺值還是有名值，尤其是確定時間t是標幺值還是有名值： $$t_{?}=t\times t_B=100\pi t$$ 如果時間t使用錯誤，會導致我們在用錯誤的時間尺度研究問題，自然得不到正確的結果。
另外，在不同的文獻中，同步電氣角速度的變量形式各不相同，但是值都是一樣的：$${\omega }_0={\omega }_N={\omega }_B=2\pi f_N$$ 量綱為：rad·s^-1。
通過判斷電氣角速度ω的量綱，可以反推出余下所有物理量的量綱，進而判斷各物理量是標幺值還是有名值。

第一部分：基本物理概念

https://blog.csdn.net/qq_38642223/article/details/89289002

參考文獻

[1] 李光琦. 電力系統暫態分析（第三版）.
[2] 王錫凡. 現代電力系統分析.
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Swing_Equation .

總結

以上是生活随笔為你收集整理的同步发电机转子的转动惯量与运动方程（二） 同步发电机的转子运动方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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