POJ 2152 fire / SCU 2977 fire（樹型動態規劃）

Description

Country Z has N cities, which are numbered from 1 to N. Cities are connected by highways, and there is exact one path between two different cities. Recently country Z often caught fire, so the government decided to build some firehouses in some cities. Build a firehouse in city K cost W(K). W for different cities may be different. If there is not firehouse in city K, the distance between it and the nearest city which has a firehouse, can’t be more than D(K). D for different cities also may be different. To save money, the government wants you to calculate the minimum cost to build firehouses.

Input

The first line of input contains a single integer T representing the number of test cases. The following T blocks each represents a test case.

The first line of each block contains an integer N (1 < N <= 1000). The second line contains N numbers separated by one or more blanks. The I-th number means W(I) (0 < W(I) <= 10000). The third line contains N numbers separated by one or more blanks. The I-th number means D(I) (0 <= D(I) <= 10000). The following N-1 lines each contains three integers u, v, L (1 <= u, v <= N，0 < L <= 1000), which means there is a highway between city u and v of length L.

Output

For each test case output the minimum cost on a single line.

Sample Input

5
5
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 5 1
5
1 1 1 1 1
2 1 1 1 2
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 5 1
5
1 1 3 1 1
2 1 1 1 2
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 5 1
4
2 1 1 1
3 4 3 2
1 2 3
1 3 3
1 4 2
4
4 1 1 1
3 4 3 2
1 2 3
1 3 3
1 4 2

Sample Output

2
1
2
2
3

Http

POJ:https://vjudge.net/problem/POJ-2152
SCU:https://vjudge.net/problem/SCU-2977

Source

樹型動態規劃

題目大意

n個城市由n-1條帶權的路相連接，現在要選擇一些城市建造消防站，每個城市建造消防站都有不同的花費，并且要滿足沒有建消防站的城市u在D[u]范圍內有建了消防站的城市（每個城市的D[u]也有可能不一樣），現在求花費最小的方案。

解決思路

看到這個題目的第一眼想到的是最小支配集，但要注意題中在D[u]范圍內這個條件，我們不能用簡單的最小支配集算法來解決。

在開始講述前，我們先規定幾個變量及其意義。

F[u][build]：這是我們動態規劃的數組，其意義是選擇在build處修建消防站來覆蓋u的最小花費（并保證此時u的所有子樹都已經被覆蓋）

Best[u]：表示覆蓋u的所有方案中花費最小的一個

Dist[u][v]：u和v之間的距離

首先我們來看稍微好理解一點的Best[u]，根據定義，對于所有的滿足Dist[u][build]< D[u]的我們可以得到Best[u]=min(Best[u],Dist[u][build])。這是可以直接根據定義推導出來的。

那么接下來就是求F[u][build]啦。

當然首先是要遞歸地求出u的子節點（下文中均用v來表示）的信息。

接下來就是最重要的部分了，有點難理解，仔細閱讀！
然后我們枚舉圖中的每一個點build，表示在build建消防站來覆蓋點u。若Dist[u][build]>D[u]，說明在build建立消防站不能覆蓋點u，那么我們就把F[u][build]置為無窮大。若Dist[u][build]< D[u]，說明可以在build建立消防站來覆蓋點u，我們就依次枚舉u的子節點v，讓F[u][build]每次累加min(Best[v],F[v][build]-W[build]），最后再讓F[u][build]加上建站在build的費用W[build]。下面來解釋一下這個轉移是如何進行的，又是基于什么原理。

因為在build建立消防站后可能不止覆蓋到u，還有可能同時可以覆蓋u的子節點v，那么此時v就有兩種選擇，一是被build覆蓋（即上面的F[v][build]-W[build]，你問我為什么要減去W[build]，因為F[v][build]中是統計了建站在build時的費用的，為了防止重復計算建立消防站在build的費用，所以這里要減去）；二是被其他點覆蓋（即上面的Best[v]）。

另外如果build無法覆蓋v怎么辦（即Dist[v][build]>D[v]），上面的方程好像沒有考慮到這種情況啊？
不用擔心，若build無法覆蓋v，此時的F[v][build]是置為無窮大的，取min后不會被統計到F[u][build]中。

最后，為了節省空間，在筆者的代碼中，Dist轉換成了一維的，Dist[v]表示當前dfs中的點u到v的距離。

代碼

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> #include<queue> using namespace std;const int maxN=1001; const int inf=2147483647;class Edge { public:int v,w; };int n; int W[maxN]; int D[maxN]; vector<Edge> E[maxN]; int Dist[maxN]; int F[maxN][maxN]; int Best[maxN]; queue<int> Q;int read(); void dfs(int u,int father);int main() {int TT;TT=read();for (int ti=1;ti<=TT;ti++){n=read();for (int i=1;i<=n;i++)//注意多組數據記得清空E[i].clear();for (int i=1;i<=n;i++)W[i]=read();for (int i=1;i<=n;i++)D[i]=read();for (int i=1;i<n;i++){int x=read(),y=read(),w=read();E[x].push_back((Edge){y,w});E[y].push_back((Edge){x,w});}//cout<<"Read_end"<<endl;dfs(1,1);cout<<Best[1]<<endl;}return 0; }int read() {int x=0;int k=1;char ch=getchar();while (((ch<'0')||(ch>'9'))&&(ch!='-'))ch=getchar();if (ch=='-'){k=-1;ch=getchar();}while ((ch>='0')&&(ch<='9')){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*k; }void dfs(int u,int father) {for (int i=0;i<E[u].size();i++)//首先把所有子節點的值算出來{int v=E[u][i].v;if (v==father)continue;dfs(v,u);}memset(Dist,-1,sizeof(Dist));//臨時用bfs求出u到所有點的距離while (!Q.empty())Q.pop();Dist[u]=0;Q.push(u);do{int uu=Q.front();Q.pop();for (int i=0;i<E[uu].size();i++){int v=E[uu][i].v;if (Dist[v]==-1){Dist[v]=Dist[uu]+E[uu][i].w;Q.push(v);}}}while (!Q.empty());Best[u]=inf;//因為要求最小，所以初值為無窮大for (int build=1;build<=n;build++){if (Dist[build]<=D[u]){F[u][build]=W[build];for (int i=0;i<E[u].size();i++){int v=E[u][i].v;if (v==father)continue;F[u][build]+=min(Best[v],F[v][build]-W[build]);//統計u的子節點v}Best[u]=min(Best[u],F[u][build]);//用剛計算出來的F[u][build]更新Best[u]}else//若build無法覆蓋u，則置為無窮大F[u][build]=inf;}return; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/SYCstudio/p/7149180.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的POJ 2152 fire / SCU 2977 fire（树型动态规划）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。