【科普】有趣“小學”數學題，做出一道即可成名，趕緊讓你孩子想想（持續補充）

小學數學老師問了我一道數學題，“任何大于2的偶數都可以寫成兩個質數的和”，“對嗎”，“怎么論證”。我吃驚于這種著名的猜想普及率卻如此值低，故做此文，普及數學中的一些著名猜想和定理。

文章目錄

• 【科普】有趣“小學”數學題，做出一道即可成名，趕緊讓你孩子想想（持續補充）
• • 哥德巴赫猜想
  • 費馬大定理（亦名費馬最后定理）
  • 孿生素數猜想
  • 3n+1 猜想
  • 四色定理
  • 黎曼猜想
  • P=NP?
  • • • P 問題
      • NP 問題
      • NPC 問題
      • NP-Hard 問題
      • NP=P？問題
  • 龐加萊猜想
  • abc 猜想
  • 卡塔蘭猜想

哥德巴赫猜想

任何一個大于 2 的偶數都可以寫成兩個素數之和。

我國比較有名的這方面工作就是陳景潤的工作。陳景潤主要研究解析數論，1966年發表《大偶數表為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》（簡記為(1,2)或(1+2)），成為哥德巴赫猜想研究上的里程碑。而他所發表的成果也被稱之為陳氏定理。這項工作還使他與王元、潘承洞在1982年共同獲得中國自然科學獎一等獎。陳先生的故事非常多，有空的同學可以查一下。

另外，王元在1956年證明了“3+4”，并在1957年證明了“3+3”和“a+b”（a+b<6）以及“2+3”。王元老師在前一段時間去世了。

至今，“1+1” 還未被證明。

費馬大定理（亦名費馬最后定理）

當整數 $n>2$ 時, 關于 $x,y,z$ 的不定方程
$$x^n+y^n=z^n$$
無正整數解。

1637 年，費馬在閱讀丟番圖《算術》拉丁文譯本時，曾在第 11 卷第 8 命題旁寫道：“ 將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關于此，我確信我發現一種美妙的證法，可惜這里的空白處太小，寫不下。”畢竟費馬沒有寫下證明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激發許多數學家對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富數論的內容，推動數論的發展。

1995 年，安德魯·懷爾斯證明費馬大定理。懷爾斯證明費馬大定理的過程亦甚具戲劇性。他用七年時間，在不為人知的情況下，得出證明的大部分。然后于 1993 年 6 月在一個學術會議上宣布他的證明，并瞬即成為世界頭條。但在審查證明的過程中，專家發現一個極為嚴重的錯誤。懷爾斯和泰勒之后用近一年時間嘗試補救，終在 1994 年 9 月以一個之前懷爾斯拋棄過的方法得到成功，這部分的證明與巖澤理論有關。

有個記錄片是講述安德魯·懷爾斯如何證明費馬大定理的。

孿生素數猜想

存在無窮多個素數 $p$, 使得 $p+2$ 是素數。其中，素數對 $(p,p+2)$ 稱為孿生素數。猜想也可以表述為，存在無窮對孿生素數。

2013 年 5 月 14 日, 《自然》雜志報道, 數學家張益唐證明存在無窮多個素數對相差都小于 7000 萬，《數學年刊》 (Annals of Mathematics) 于 2013 年 5 月 21 日接受了張的論文。陶哲軒隨后開始了一個 Polymath 計劃，和網上志愿者合作降低張益唐論文中的上限。截至2014 年 4 月，即張益唐提交證明之后一年，上限已降至 246。2014 年，一名加拿大數學家稱自己找到了一種簡化和改進張益唐的方法的新方法，利用這一方法，可以將距離縮小到 6。

張益唐 1955 年出生，1978 年考入北大數學系，在北大便是同學中的佼佼者，1985 年從北大碩士畢業后，去美國普渡大學攻讀博士學位，其間跟導師，來自臺灣的代數幾何高手莫宗堅產生了分歧。張益唐曾對記者含糊提及：“開始還好，但后來……由于一些個人原因并不是太好，最后學位是拿下了，但是……那個時候對我來說是比較失落的時候”，一向對媒體很隨和的張益唐每被問到這一段，就不愿多談。

張益唐博士畢業時，正逢數學系研究生找工作很困難的幾年，加上沒有導師的推薦信，1992 年畢業后的 7 年里，張益唐沒有進入學術圈，謀生方式只是打零工，在快餐店做會計，給中餐店送外賣，也在汽車旅館打過工。

據說，張證明這個猜想的靈感來源于看梅花鹿。2012 年 7 月 3 日，張益唐去好友指揮家齊光家做客，等待欣賞一場演出的排練，朋友家后院里經常有梅花鹿來做客，排練還沒開始，張益唐想去看看有沒有梅花鹿，鹿一直沒有出現，但就在某一瞬間，靈感出現了。

“如果那天鹿來了，你的靈感還會來嗎？”

“鹿來了，很可能真想不出來。”

“如果那天不來，你的靈感之后還會來嗎？”

“我覺得還是會來的，但我不敢說具體什么時候。”

“他當此榮耀”

3n+1 猜想

考拉茲猜想（又稱為奇偶歸一猜想、 $3\mathrm{n}+1$ 猜想，冰電猜想、角谷猜想、哈塞猜想、烏拉姆猜想或敘拉古猜想），它是指對于每一個正整數, 如果它是奇數, 則對它乘3再加1, 如果它是偶數, 則對它除以2, 如此循環, 最終都能夠得到1。
$$f(n)=\{\begin{array}{ll}n/2& \text{?if?}n\equiv 0\\ 3n+1& \text{?if?}n\equiv 1\end{array}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2).$$

在 1930 年代, 德國漢堡大學的學生考拉茲，曾經研究過這個猜想。在 1960 年, 日本人角谷靜夫也研究過這個猜想。但這猜想到目前，仍沒有任何進展。

目前已經有分布式計算在進行驗證。到 2009 年 1 月 18 日, 已驗證正整數到 $5\times 2^{60}$, 也仍未有找到例外的情況。但是這并不能夠證明對于任何大小的數，這猜想都能成立。

四色定理

四色定理（又稱為四色地圖定理），它說的是如果在平面上劃出一些鄰接的有限區域，那么可以用四種顏色來給這些區域染色，使得每兩個鄰接區域染的顏色都不一樣。色定理的通俗版本是：“任意一個無飛地的地圖都可以用四種顏色染色，使得沒有兩個相鄰國家染的顏色相同。” 這里的飛地是指: 一個國家所有的、與其成片土地相分離而坐落在其他單位范圍內的土地。

“是否只用四種顏色就能為所有地圖染色?” 的問題最早是由南非數學家法蘭西斯·古德里在1852 年提出的，被稱為“四色問題”或“四色猜想”。人們發現，要證明寬松一點的“五色定理”（即“只用五種顏色就能為所有地圖染色”）很容易，但四色問題卻出人意料地異常困難。曾經有許多人發表四色問題的證明或反例，但都被證實是錯誤的。

1976 年，數學家凱尼斯·阿佩爾和沃夫岡·哈肯借助電子計算機首次得到一個完全的證明，四色問題也終于成為四色定理。這是首個主要借助計算機證明的定理。這個證明一開始并不為許多數學家接受，因為不少人認為這個證明無法用人手直接驗證。盡管隨著計算機的普及，數學界對計算機輔助證明更能接受，但仍有數學家希望能夠找到更簡潔或不借助計算機的證明。

黎曼猜想

黎曼$\zeta$函數，
$$\zeta (s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+?$$
它的非平凡零點 （在此情況下是指 $s$ 不為 $?2,?4,?6?$ 等點的值）的實數部分是 $\frac{1}{2}$ 。也就說，它的解是分布在實軸和$\frac{1}{2}+ti$上的。

黎曼1859年在他的論文《über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr??e》中提及了這個著名的猜想，但它并非該論文的中心目的，他也沒有試圖給出證明。

近年來的工作主要集中于計算大量零點的位置（希望借此能找到一個反例）。但是很遺憾，沒有找到。

2018 年 9 月 24 日，英國數學家邁克爾·阿蒂亞爵士（Sir Michael Atiyah）在德國海德堡獲獎者論壇宣稱他證明了已有 159 年歷史的黎曼猜想，引發媒體關注。到目前，還沒有數學家表示驗證了阿蒂亞爵士的證明，很多人不相信他已經證明這個，畢竟年紀那么大了，證明出來的可能性極小，大家都懶得去看他的證明了。但是，數學家們出于對他的尊重，也是任由他去，基本上沒有人去反駁。不到 4 個月后，2019年1月11日，他就去世了。他的宣傳證明，更像是死前的不愿留有遺憾。

過去一百多年來，不斷有科學家向黎曼猜想發起沖擊，但無一例外地失敗了。這個猜想的證明，不管是證實還是證偽，都會給當今的數學界造成大地震，無數以它為基礎的定理或許被肯定，或許被推翻。

P=NP?

要搞清楚這個問題是什么，就要搞清楚，P（Polynomial)、NP（Non-deterministic，注意不是非多項式）、NPC（NP-Complete）、NP-Hard 等概念。很多人在聊天當中，經常濫用這些詞，感覺到一個問題可以窮舉解決，就說叫 NP，這個不對哈。下面簡單介紹一下這些概念。

P 問題

一個問題，我們往往可以通過算法解決。算法的時間復雜度（這是給消耗時間雖問題規模增長的描述量）的描述一般為：

• 多項式級別復雜度：$O(1)$、$O(\log n)$、$O(n^k)$，這個 $k$ 不依賴問題規模。
• 非多項式時間復雜度：$O(k^n)$、$O(n!)$ 等。

如果一個問題，我們能找出一個多項式時間的算法去解決它，我們就稱之為 P 問題。

例如：比如說排序問題，我們能找出$O(n\log n)$的算法，這就是一個 P 問題。

NP 問題

NP 問題不是非多項式時間的算法解決的問題。它指的是這樣一類問題，即如果一個問題，你給出的猜想的測試例子，能在多項式時間內，判斷或者說驗證這個例子的有效性，即這個例子放到這個問題中是否給出了一個正確的回答。

例如，尋找哈密頓回路的問題：給你一個圖，問你能否找到一條經過每個頂點一次且恰好一次（不遺漏也不重復）最后又走回來的路。然后我隨便給一條測試路徑，你可以很容易地在多項式時間內判斷這條路徑是否經過每個頂點有且只有一次。你可以找各種各樣的路徑在多項式時間內去試，去驗證，這個問題就是 NP 問題。這類問題，不一定能在多項式時間求出解，但是可以在多項式時間內驗證任意一個解是否滿足。

反之，如果把問題改為：判斷一個圖中是否不存在哈密頓回路。隨機給一條回路，不管你選的回路多么巧妙，是一個什么樣的回路，光靠它一個，都無法證實這個問題。那么，這個問題，就不是 NP 問題。

NP 問題是指可以在多項式的時間里驗證一個解的問題。 往往說的，需要窮舉的，都不是 NP 問題。

容易看到，P 問題，必然是 NP 問題，因為至少可以通過 P 算法，解出來一個解，直接和猜想的解做比較即可驗證這個解。

NPC 問題

首先，談一談什么叫規約。所謂的 A 可以規約為 B，是說，B 是比 A 更大范圍的一個問題，A 問題是 B 問題的特例，B 問題解決了，A 問題也解決了。

例如求解一個一元一次方程（A）和求解一個一元二次方程（B）。如果我買有一個方法求解一元二次方程，并且把這個方法套到 A 問題上，令一元二次方程的二次項系數為0，那么 A 問題就解決了。這時候，我買說 A 問題可以規約為 B。

如果能找到這樣一個多項式時間的變化法則（如令一元二次方程的二次項系數為0），對任意一個程序 A 的輸入，都能按這個法則變換成程序 B 的輸入，使兩程序的輸出相同，那么我們說，問題 A 可規約為問題 B 。

容易知道，規約是具有傳遞性的。A 可以規約到 B，B 可以規約到 C，這樣。問，是否存在一個很“大”的終極 NP 問題，使得所有的 NP 問題都可以規約到它。答案是肯定。并且這個問題還不止一個，它們是一類，而且是某種意義下“等價”的一類。

那么，NPC 問題的定義如下：

• 是 NP 問題
• 所有的 NP 問題都可以約化到它

這樣的問題存不存在呢？當然。邏輯電路問題是指的這樣一個問題：邏輯電路，問是否存在一種輸入使輸出為 True。這是一個 “爸爸級” 的問題。所有的 NPC 問題，都可以由這個 NPC 問題約化而來。

很多問題已經被證明為了 NPC 問題。

NP-Hard 問題

上面 NPC 的定義中有兩條，如果不需要第一條，那么所有 NP 問題都可以約化到的問題就是 NP-Hard 問題。NP-Hard 問題不一定是一個 NP 問題，不一定能在多項式時間內驗證一個解，這樣的問題就更難了。

他們之間的關系是，P 問題一定是 NP 問題，NP 問題可以規約到 NP 問題的子集，即 NPC 問題，其他 NP 問題，規約到 NP-Hard 問題。當 P=NP 的時候，NP 實現了自我規約，非 P 問題，規約到 NP-Hard 問題，事情就變簡單了很多。

p 問題是 np 問題的一個子集，所有的 np 問題可以規約的所有大問題的集合叫做 np 難問題，np 難問題里面有一類是 np 問題，就是 npc 問題。
也就是說所有 np 問題規約到的不僅僅有還是 np 的 npc 問題，還有可能規約到非 npc 的 np 難問題。只有規約到 npc 問題的情況，他們才是等價的一類。

這是另外一碼事了。

NP=P？問題

現在回到這個問題，NP 是否等于 P？其實問的就是所有的 NP 是否都是 P，即如果一個問題，能夠通過多項式的時間驗證一個解，那么是否一定能找出一個多項式時間的解法？

給定一個 P，判斷是不是 NP，這個問題本身就是一個 NP-Hard 問題（不嚴格的說法）。在 NPC 之前，我們需要遍歷所有的 NP。一個 NP，如果找到了已給多項式算法，它就變成了 P，所有的 NP 都可以變成 P，那么這個問題就解決了。所以，你給一個一般 NP 問題，你找了一個算法，把它變成了 P，對于這個問題的解決是沒有太大作用的。所以，我們需要把 NP 問題規約為 NPC 問題。如果被放得太大了，那么證明的難度自然就增加了。難度太大了，整不出來了，那么一切就成了信仰。

通過上面的討論我們可以知道，只要任意一個 NPC 問題能夠找到多項式解法，那么所有的 NP 問題也就能找到多項式解法，則 NP = P。

因為這個問題很難，所以現在已經成了一種信仰。就像無法確認鬼神的存在，但是我們可以有宗教信仰。你問我信不信，我當然不信。NP 是兩個字母，P 是一個字母，兩個字母怎么可能等于一個字母。除非他們是變量，被賦值了同一個數。

參考鏈接

龐加萊猜想

任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。
上述簡單來說就是：每一個沒有破洞的封閉三維物體，都拓撲等價于三維的球面。

當連通，在面上任意取閉合的曲線，慢慢收縮，都能縮成一個點，我們就說他是單連通的。比如說，球面。填填圈就是不是單連通的，因為繞它的“洞”環一周的曲線就無法縮成一個點。

同胚：通俗地將，可以把水杯保留手柄上的洞，捏成甜甜圈的輪胎狀，我們據說，甜甜圈和水杯是同胚的。

2006 年確認由俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼完成最終證明，他也因此在同年獲得菲爾茲獎，但并未現身領獎。正式回信里他只寫了結論：無論如何都不會去領獎。佩雷爾曼原話是認為哈密頓的功勞是最大的, 他只是完成了最后一步而已。更重要的是他認為目前數學界乃至整個科學界的評價體系有問題。我們的推測是他認為現在學術體系太功利化了，他想要的只是思考數學本身的樂趣。這才是 YYDS。

abc 猜想

對于任何 $\epsilon >0$, 只存在有限個互素正整數的三元組$(a,b,c)$，$c=a+b$，使得
$$c>\mathrm{rad}(abc{)}^{1+?}$$

對正整數 $n$， $\mathrm{rad}(n)$ 表示 $n$ 的質因數（重復的只算一次）的積，稱為 $n$ 的根基 ( radical) 。

abc 猜想在數學界有著重要意義，很多著名猜想/理論都是它的推論，如費馬大定理、比爾猜想、Mordell 猜想、卡塔蘭猜想以及孿生素數猜想等。這個猜想在數論中的地位很高，幾乎與黎曼猜想齊名。

2012 年，日本的望月新一悄悄上傳了論文預印本，發布平臺卻沒有選擇數學家首選的 arXiv，而是在京都大學數理解析研究所的個人主頁上。眾人打開論文時，大家都被其中的內容嚇到了：論文以一種高深莫測的特殊風格撰寫，即使是同樣作為數學家的很多人也都看不懂。具體來說，這篇論文中充滿了各種奇怪的符號，以及風格詭異的定義名稱，如「宇宙暗邊際之極」、「霍奇影院」（Hodge Theater）、「外星算數全純結構」（alien arithmetic holomorphic structures）等等…… 望月新一的論文實際上由多篇組成，相加起來超過了 600 頁，晦澀難懂，還引用了超過 500 頁自己的其他論文，幾乎就是為了解決 abc 猜想而發展出了一套新的數學理論。

2020 年 4 月 3 日，日媒京都新聞報道，日本京都大學數理分析研究所教授望月新一（Shinichi Mochizuki）對于數論難題「abc 猜想」的證明將正式發表。從公布之日算起，該論文經歷了近 8 年的審查。

此外，有關望月新一還一直流傳著這樣一種說法，他被認為是比特幣的發明者。但這一說法疑點頗多。

卡塔蘭猜想

除了 $8=2^3，9=3^2$， 沒有兩個連續整數都是正整數的幕 (即次方數) 。 以數學方式表述為：不定方程 $x^a?y^b=1$ 的大于1的正整數 $x，y，a，b$ 只有唯一解 $x=3，y=2，a=2，b=3$。

卡塔蘭猜想也稱為米哈伊列斯庫定理，是比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭在 1844 年提出的數論猜想，已在 2002 年 4 月由帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家普雷達·米哈伊列斯庫證明了這猜想，因此也稱為米哈伊列斯庫定理，證明大幅使用了分圓域和伽羅華模。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【科普】有趣“小学”数学题，做出一道即可成名（持续补充）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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