歐拉角速度與角速度的關系推導——歐拉運動方程

最近研究歐拉角速度與角速度之間的關系，特別折磨，網上的資料要不就是地理學的進動——章動——自轉那一套歐拉角與角速度的關系，要不就是陀螺儀那一套歐拉角與角速度的關系，不具有普遍性，因此在大干三天后，將自己的心得寫上來供大家參考。

歐拉角

歐拉角的定義不再贅述，簡單來說它是確定定點轉動剛體位置的3個一組獨立角參量。這個東西壞就壞在它有太多種了。繞軸轉動的順序不同（如x-y-z和x-z-y），繞軸轉動的類型不同（指繞慣性坐標系x-y-z或剛體固連坐標系x-y’-z’‘），兩次轉動繞同一軸如（z-x’-z’‘）等等，都會產生不同的歐拉角。而且不同學科不同場合使用的歐拉角不同，甚至同一歐拉角的俗稱也不同，帶來了非常大的不便。在機器人學中，常用的是以下兩種歐拉角：
RPY角 ：指繞慣性坐標系旋轉（即繞的軸在整個旋轉中是固定不變的），依次繞X軸（roll角），Y軸（pitch角），Z軸（yaw角）進行旋轉。
ZYX角：指繞剛體固連坐標系旋轉（即繞的軸會隨著旋轉變化而變化），依次繞z軸（yaw角），旋轉后的y’軸（pitch角），兩次旋轉后的x’‘軸(roll）角進行旋轉。
注意，這兩種旋轉是完全等價的，即若roll，pitch，yaw取相同的值，按這兩種過程進行旋轉，得到的結果相同。
在一些設計仿真軟件（如adams）中，它們的Eular Angel指的是ZYZ角，即繞剛體固連系的z軸，y’軸，z’'軸進行旋轉。

角速度

角速度很簡單，初中生都知道。但是具體使用起來卻容易出錯。因為角速度有兩種表示方式，一種表示在慣性坐標系，為全局角速度。常用在機器人運動學求解等領域。另一種表示在剛體固連坐標系，為隨體角速度。常用在陀螺儀、慣導等領域。這兩種角速度在于歐拉角之間進行轉換時，思路是不同的。

全局角速度與ZYX歐拉角速率之間的轉換

角速度w是表示在慣性坐標系的，可分解為
$$w=w_{x}i+w_{y}j+w_{z}k$$
同時，有可以將它分解到剛體固連坐標系三次旋轉的轉軸上：
$$w=dr?e_1+dp?e_2+dy?e_3$$
dr、dp、dy即為roll、pitch、yaw角速度的值.
(1)首先，繞著固連系z軸（也是慣性系z軸）旋轉dy完成了第一次旋轉，其值為
$$dy?e_3=?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}???\begin{array}{c}dr\\ 0\\ 0\end{array}?$$
(2)其次，繞著固連系（這里的固連系并非狹義上的固連系，而是值進行過一次roll旋轉的坐標系，注意是roll旋轉而不是上文提到的dr旋轉）的y’軸進行第二次旋轉，旋轉量為dp，固連系的y’軸與慣性系的y軸之間存在$R_{yaw}$的變換，即
$$dp?e_2=?\begin{array}{ccc}cos(yaw)& ?sin(yaw)& 0\\ sin(yaw)& cos(yaw)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}???\begin{array}{c}0\\ dp\\ 0\end{array}?$$
(3） 最后，繞著固連系的x’‘軸軸旋轉dr。此時的x’'軸和慣性系的x軸之間存在$R_{yaw}{R}_{pitch}$的變換，即
$$dp?e_2=?\begin{array}{ccc}cos(yaw)& ?sin(yaw)& 0\\ sin(yaw)& cos(yaw)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}??\begin{array}{ccc}cos(pitch)& 0& sin(pitch)\\ & 1& 0\\ ?sin(pitch)& 0& cos(pitch)\end{array}???\begin{array}{c}0\\ 0\\ dy\end{array}?$$
將三者相加，就可得到角速度與歐拉角速度率的關系：
換，即
$$?\begin{array}{c}wx\\ wy\\ wz\end{array}?=?\begin{array}{ccc}cos(pitch)?cos(yaw)& ?sin(yaw)& 0\\ cos(pitch)?sin(yaw)& cos(yaw)& 0\\ ?sin(pitch)& 0& 1\end{array}???\begin{array}{c}dr\\ dp\\ dy\end{array}?$$
若要求得隨體角速度和ZYX角速度的關系，方法與上面類似，但要注意順序是反過來的，即dr是繞隨體坐標系中的x軸，無需進行變換，dp需要進行$R_{yaw}$的逆變換等等。結果如下：
$$w=dr+R_{roll}^{\prime }?dp+R_{roll}^{\prime }{R}_{pitch}^{\prime }?dy$$
即：
$$?\begin{array}{c}wx\\ wy\\ wz\end{array}?=?\begin{array}{ccc}1& 0& ?sin(pitch)\\ 0& cos(roll)& cos(pitch)?sin(roll)\\ 0& ?sin(roll)& cos(pitch)?cos(roll)\end{array}???\begin{array}{c}dr\\ dp\\ dy\end{array}?$$
對于全局RPY角，由于其與ZYX角等效，結果完全相同，推導方法也類似。至于其他的歐拉角種類，推導方法也是相似的，朋友們可以自己嘗試一下。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的欧拉角速度与角速度的关系推导——欧拉运动方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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