x的平方

• • 1. 題目
  • 2. 思路
  • 3. 代碼實現
  • 4. 總結

1. 題目

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給你一個非負整數 x ，計算并返回 x 的 算術平方根 。

由于返回類型是整數，結果只保留 整數部分 ，小數部分將被 舍去 。

注意：不允許使用任何內置指數函數和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

輸入：x = 4
輸出：2
示例 2：

輸入：x = 8
輸出：2
解釋：8 的算術平方根是 2.82842…, 由于返回類型是整數，小數部分將被舍去。

提示：

0 <= x <= 2³¹ - 1

2. 思路

因為只保留整數部分，所以ans 是滿足 k² ≤ x 的最大 k 值

解法一：對數函數求平方根

【注意：返回值為浮點數，會產生精度問題】

解法二：二分法搜索k

解法三：牛頓迭代法

將題目轉化成求解函數零點

牛頓迭代法的本質是借助泰勒級數，從初始值開始快速向零點逼近。

實現過程

實現細節

3. 代碼實現

解法二：二分法搜索k

class Solution { public:int mySqrt(int x) {int left = 0;int right = x;int ans = -1;while(left <= right){int middle = left + (right - left) / 2;if((long long)middle*middle <= x){ans = middle; // 滿足條件的k， 最后更新得到ansleft = middle + 1;}else{right = middle - 1;}}return ans;}};

復雜度分析

• 時間復雜度：$O(logx)$，即為二分查找需要的次數。
• 空間復雜度：$O(1)$

解法三：牛頓迭代法

class Solution { public:int mySqrt(int x) {if (x == 0) return 0;// 設置迭代初始值double x0 = x;double C = x;while(true){double x1 = 0.5 * (x0 + C/x0); // 根據公式得到下一個點x(i+1)if(fabs(x1 - x0) < 1e-7) break;x0 = x1; // 更新點xi}return int(x0);}};

復雜度分析

• 時間復雜度：$O(logx)$，此方法是二次收斂的，相較于二分查找更快。
• 空間復雜度：$O(1)$。

4. 總結

1. 溢出判斷

(long long)middle*middle <= x

• 這里middle的取值范圍為0 <= middle <= 2³¹ - 1，則0 <= middle * middle < 2⁶²
• 而int型變量的取值范圍為2³¹ <= middle <= 2³¹
• 因為需要將變量類型轉換為long

2. 已知直線斜率和直線上一點，直線方程的表達公式

3. abs()與fabs()

• abs( )主要用于對求整數的絕對值，在“stdlib.h”(或 )頭文件里面。
• 而fabs( )主要是求精度要求更高的double ，float 型的絕對值，在< cmath>頭文件里。
• 兩者在只#include< cmath>時都可以使用。

4. 訂正數學習慣寫法

double x1 = 1/2 * (x0 + C/x0); // 根據公式得到下一個點x(i+1)

寫成這種形式會一直循環下去，因為這里的1/2會得到0！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的1.1.3 数组——x的平方（Leetcode 69）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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