向量與向量空間

這一篇文章是線性代數系列的第一篇，國內外一般的課程與教材都是從線性方程組開始講線性代數，從高斯消元、高斯約旦這些方法入門線性代數也是對新手比較友好的。這個系列的文章可能會比國內的教材更接近線代的本質（博主自以為 ），所以對做題、套路之類的涉及不多，主要參考的是Meyer的《Matrix Analysis and Applied Linear Algebra》和Manolis的youtobe頻道，還有3Blue1Brown的bilibili頻道。

定義

先從定義講起。

什么是向量

向量這個概念其實從高中就有接觸。高中數學課本中，向量是直角坐標系中的有序二元數對 (x,y)；物理課上，這東西又被叫做矢量，由長度和方向定義；上了大學之后，接觸過計算機的同學可能也知道，向量是一個有序的列表，比如C語言的vector，一般可以與數組進行類比。需要注意的是：這里不論是列表還是數對，順序都是重要的，變換順序可能就不是原來的向量了。下面給出維基百科的定義：

一切具有大小和方向，并且滿足四邊形法則的集合對象都叫做向量。

而實際上在線性代數這門課里，向量一般指列向量，也就是多個數字的有序排列。

向量空間

Vector Space(向量空間) 是線代中極其重要的一個概念，真正理解起來十分抽象， 請看下面這句話

A vector space V over k is an abelian group V with operation + together with a ring homomorphism k → End(V) from k into the ring of
endomorphisms of V.

是不是一臉懵逼？沒事，實際上博主也至今沒有理解這個定義，其中涉及到很多抽象代數的定義，不常用的話很容易忘記，所以就不用為難自己去理解了。
課上會講的定義一般長這樣

再簡單一點來記，對加法和數乘封閉的一般都是向量空間，比如二維空間、三維空間、多項式函數空間、矩陣的行列空間等等。
需要記住：

• 空間必須包含零點
• 空間內的元素必有無限個，除了空集(特例)
• 任意數量的向量，其線性組合都可以形成一個空間
• 子空間也是空間，需滿足所有空間的定義

對空間的操作

兩個子空間S₁, S₂ 的交集仍然是子空間，然而并集不是，反例很容易給出，如二維空間中的 y=x 與 y=2x。

子空間的和

定義：

$$Thesumofsubspaces{S}_i,i\in \{1,2...l\}isthesetofall\sum _{i\in [l]}{a}_i{s}_{i}where{a}_i\in R,s_i\in S_i,denotedby\sum _{i\in [l]}{S}_i.$$

任意兩條不同直線的和構成一個二維平面，任意平面和與它不平行的直線構成一個三維空間。

基和維度

基是空間的另一個重要概念，基是空間中一組向量的集合，空間中任意元素都可以由基的線性組合構成，用數學語言表達，假設B是空間V的一組基 {x₁, x₂,…, x_n}，那么
$$?v\in V,?k_1,?,k_n\in R:v=\sum _{i=1}^n{k}_i{\text{x}}_i$$
空間的基是最小生成集，同時也是最大線性獨立集。也就是說，在空間 V 中，任何基數比 B 小的集合都無法生成 V 中所有元素，而任何基數比 B 大的集合都必然線性相關。基所包含的向量個數就是空間的維度，讀者可以自行用二維和三維空間舉例理解。

矩陣的秩

首先給出Meyer在書中的定義

Suppose a m×n matrix A is reduced by row operations to an echelon form E.
The rank of A is defined to be the number
$$\begin{array}{rl}rank(A)& =\#pivots\\ & =\#nonzerorowsin\text{E}\end{array}$$

學過線代的同學肯定對秩不陌生，這在各種證明題中往往是讓人頭疼的部分。
下面給出幾個關于秩的定理

• $rank(AB)=rank(B)?dimN(A)\cap R(A)$
• $rank(A^{T}A)=rank(A{A}^T)=rank(A)$
• $rank(AB)\le min\{rank(A),rank(B)\}$

這之中最重要的是第一個定理，出自Meyer書中的 4.5.1，證明懶得寫了，直接照搬書上的吧，看不明白的伙伴麻煩百度

四個基本子空間

矩陣的四個基本子空間：行空間、列空間、零空間、左零空間。前二者分別是矩陣行向量和列向量張成的空間，后二者是與矩陣相乘為0的向量的集合。下面的圖很形象的解釋了四個空間的聯系，其中

• 行列空間的維度都等于矩陣的秩
• 行空間與零空間互補（這一概念會在后面的文章提到）。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的向量与向量空间的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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