Problem

傳送門

Sol

容易得到
$$f_n=e_{n?1}+f_{n?1},e_{n?1}=f_{n?1}+e_{n?1},f_1=e_1=1$$
那么
$$f_n=2\times \sum _{i=1}^{n?1}{f}_i?f_{n?1}+1$$
又有
$$f_{n+1}=2\times \sum _{i=1}^n{f}_i?f_n+1$$
相減得到 $f_{n+1}=f_n\times 2+f_{n?1},f_1=1$

有結(jié)論 $gcd(a,b)=1$ 時，形如 $f_i=a{f}_{i?1}+b{f}_{i?2}$ 的數(shù)列有性質(zhì) $gcd(f_i,f_j)=f_{gcd(i,j)}$

大概可以這么證明

而 $lcm$ 實(shí)際上是一個對于質(zhì)因子的指數(shù)取 $max$ 的操作
每個質(zhì)因子分開考慮，然后最值反演
$$lcm(S)=\prod _i{p}_i^{{\sum }_{T?S}min(T_i)(?1{)}^{|T|+1}}=\prod _i\prod _{T?S}{p}_i^{min(T_i)(?1{)}^{|T|+1}}$$
交換順序得到
$$lcm(S)=\prod _{T?S}gcd(T{)}^{(?1{)}^{|T|+1}}$$
其中 $S,T?=?$，$min(T_i)$ 表示 $p_i$ 這個因子的指數(shù)最小值

所以
$$g_n=\prod _{T?S}{f}_{gcd(T)}^{(?1{)}^{|T|+1}}=\prod _{d=1}^n{f}_d^{{\sum }_{T?S}[gcd(T)==d](?1{)}^{|T|+1}}$$
設(shè) $$s_d=\sum _{T?S}[gcd(T)==d](?1{)}^{|T|+1}$$
$$h_i=\sum _{i|d}^n{s}_d=\sum _{T?S}[i|gcd(T)](?1{)}^{|T|+1}=[cn{t}_i?=0]=1$$
其中 $cn{t}_i$ 表示 $i$ 的倍數(shù)的個數(shù)
那么
$$s_i=\sum _{i|d}^n\mu (\frac{d}{i})h_d=\sum _{i|d}^n\mu (\frac{d}{i})$$
那么
$$g_n=\prod _{d=1}^n{f}_d^{{\sum }_{d|i}^n\mu (\frac{i}{d})}=\prod _{d=1}^n\prod _{d|i}^n{f}_d^{\mu (\frac{i}{d})}=\prod _{i=1}^n\prod _{d|i}{f}_d^{\mu (\frac{i}{d})}$$
$\Theta (nlogn)$ 預(yù)處理出 ${\prod }_{d|i}{f}_d^{\mu (\frac{i}{d})}$ 即可

# include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll;const int maxn(1e6 + 5);int pr[maxn], num, ispr[maxn], mu[maxn], n, f[maxn], s[maxn], g[maxn], mod, ans, inv[maxn];inline int Pow(ll x, int y) {register ll ret = 1;for (; y; y >>= 1, x = x * x % mod)if (y & 1) ret = ret * x % mod;return ret; }inline void Inc(int &x, int y) {if ((x += y) >= mod) x -= mod; }int main() {register int i, j, test;mu[1] = 1, ispr[1] = 1;for (i = 2; i <= 1000000; ++i) {if (!ispr[i]) pr[++num] = i, mu[i] = -1;for (j = 1; j <= num && i * pr[j] <= 1000000; ++j) {ispr[i * pr[j]] = 1;if (i % pr[j]) mu[i * pr[j]] = -mu[i];else {mu[i * pr[j]] = 0;break;}}}mod = 1e9 + 7;for (scanf("%d", &test); test; --test) {scanf("%d%d", &n, &mod), ans = 0;for (f[1] = 1, i = 2; i <= n; ++i) f[i] = (2LL * f[i - 1] + f[i - 2]) % mod;for (g[0] = i = 1; i <= n; ++i) g[i] = 0, s[i] = 1, inv[i] = Pow(f[i], mod - 2);for (i = 1; i <= n; ++i)for (j = i; j <= n; j += i)if (mu[j / i] == 1) s[j] = 1LL * s[j] * f[i] % mod;else if (mu[j / i] == -1) s[j] = 1LL * s[j] * inv[i] % mod;for (i = 1; i <= n; ++i) g[i] = 1LL * g[i - 1] * s[i] % mod;for (i = 1; i <= n; ++i) Inc(ans, 1LL * i * g[i] % mod);printf("%d\n", ans);}return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的BZOJ4833: [Lydsy1704月赛]最小公倍佩尔数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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