好久沒有寫文章了，抱歉了，以后每天都會更新一篇的....

向量的點乘，也就是兩個向量相乘：

我們是不這么定義的，不是兩個向量對應的坐標元素相乘：

兩個向量“相乘”，結果是?個數！，兩個向量"相乘"，更嚴格的說法：兩個向量的點乘，兩個向量的內積。

兩個向量“相乘”：等于兩個向量的模(長度)乘于夾角的余弦

在二維空間中，向量的點乘：

使用余弦定理證明：

向量點乘的直觀理解：

向量的點乘，兩個向量必須是同方向的，所以做投影以后的長度再相乘

同樣，可以用坐標來理解：

v向量分解為x軸的x2向量，y軸的y2向量，u向量分解為x軸的x1向量，和y軸的y1向量，然后分別相乘，有4種情況，垂直的向量相乘為0，所以是x1.x2+y1.y2

使用Python實現向量的點乘：

具體代碼：

定義一個內部使用的文件_globals，用來存儲全局使用的變量 EPSILON，用來判斷精度用的

EPSILON = 1e-8

Vector的代碼：

import math

from ._globals import EPSILON

class Vector:

def __init__(self, lst):

self._values = list(lst)

@classmethod

def zero(cls, dim):

"""返回一個dim維的零向量"""

return cls([0] * dim)

def __add__(self, another):

"""向量加法，返回結果向量"""

assert len(self) == len(another), \

"Error in adding. Length of vectors must be same."

return Vector([a + b for a, b in zip(self, another)])

def __sub__(self, another):

"""向量減法，返回結果向量"""

assert len(self) == len(another), \

"Error in subtracting. Length of vectors must be same."

return Vector([a - b for a, b in zip(self, another)])

def norm(self):

"""返回向量的模"""

return math.sqrt(sum(e**2 for e in self))

def normalize(self):

"""返回向量的單位向量"""

if self.norm() < EPSILON:

raise ZeroDivisionError("Normalize error! norm is zero.")

return Vector(self._values) / self.norm()

def dot(self, another):

"""向量點乘，返回結果標量"""

assert len(self) == len(another), \

"Error in dot product. Length of vectors must be same."

return sum(a * b for a, b in zip(self, another))

def __mul__(self, k):

"""返回數量乘法的結果向量：self * k"""

return Vector([k * e for e in self])

def __rmul__(self, k):

"""返回數量乘法的結果向量：k * self"""

return self * k

def __truediv__(self, k):

"""返回數量除法的結果向量：self / k"""

return (1 / k) * self

def __pos__(self):

"""返回向量取正的結果向量"""

return 1 * self

def __neg__(self):

"""返回向量取負的結果向量"""

return -1 * self

def __iter__(self):

"""返回向量的迭代器"""

return self._values.__iter__()

def __getitem__(self, index):

"""取向量的第index個元素"""

return self._values[index]

def __len__(self):

"""返回向量長度(有多少個元素)"""

return len(self._values)

def __repr__(self):

return "Vector({})".format(self._values)

def __str__(self):

return "({})".format(", ".join(str(e) for e in self._values))

測試代碼：

from playLA.Vector import Vector

if __name__ == "__main__":

vec = Vector([5, 2])

print(vec)

print("len(vec) = {}".format(len(vec)))

print("vec[0] = {}, vec[1] = {}".format(vec[0], vec[1]))

vec2 = Vector([3, 1])

print("{} + {} = {}".format(vec, vec2, vec + vec2))

print("{} - {} = {}".format(vec, vec2, vec - vec2))

print("{} * {} = {}".format(vec, 3, vec * 3))

print("{} * {} = {}".format(3, vec, 3 * vec))

print("+{} = {}".format(vec, +vec))

print("-{} = {}".format(vec, -vec))

zero2 = Vector.zero(2)

print(zero2)

print("{} + {} = {}".format(vec, zero2, vec + zero2))

print("norm({}) = {}".format(vec, vec.norm()))

print("norm({}) = {}".format(vec2, vec2.norm()))

print("norm({}) = {}".format(zero2, zero2.norm()))

print("normalize {} is {}".format(vec, vec.normalize()))

print(vec.normalize().norm())

print("normalize {} is {}".format(vec2, vec2.normalize()))

print(vec2.normalize().norm())

try:

zero2.normalize()

except ZeroDivisionError:

print("Cannot normalize zero vector {}.".format(zero2))

print(vec.dot(vec2))

注意：

向量的點乘的應?

1、求出兩個向量之間的夾角范圍，或者具體值

2、判斷兩個向量的相似程度(推薦系統)

一組物品進行推薦，可能是電影，音樂....在推薦的時候，最典型的推薦策略就是推薦和你的喜好最相似的內容，比如說，你已經在系統上留下足跡，喜歡電影A，此時電影B和A相似，推薦系統就會傾向把電影B推薦給你，電影C和電影B極其不相似，推薦系統就不會推薦。

在這個背后如何判斷兩個電影是否相似？

很簡單的判斷就是使用向量的點乘，在這種情況下，可以想象一下，每一個電影都可以理解為一個高維空間中的點，把向量另外一種視角看待(高維空間中的一個點)，對電影來說，它可能有(電影的時間，演員的列表，電影的導演，電影的類型，電影的色調，臺詞量....)的一個高維度信息，就是在一個高維空間中的點，在這種情況下，如果我們轉換我們的視角，把每個電影又轉換成一個高維空間中的一個向量，每兩個電影之間就會存在一個夾角，這時候，我們可以看這兩個電影之間的夾角是直角，鈍角，還是銳角，，如果是銳角，那么這兩個電影之間有一部分是重合的，我就說這兩個電影是相似的，如果是垂直的，那么這兩部電影就是無關的，如果是頓角那么這兩部電影是背離的。

在這里我們不僅可以看兩個向量之間的夾角，還可以看點乘的結果(值)，如果點乘的值為正值，并且越大，說明這兩個電影越相似，在最極端的情況下，這兩個向量完全重合的時候，那么這時候這兩個向量的點乘將達到最大值，也就是兩個電影的高維空間中的點(電影的時間，演員的列表，電影的導演，電影的類型，電影的色調，臺詞量....)已經重合了。

換句話說，我們可以使用向量點乘的方式，來看兩個向量(電影)的相似，值越大，越相似，值越小，越不一樣，這就是向量的點乘在推薦系統中的一個典型應用，當然了，現在的推薦

系統都比較復雜，在判斷兩個物品是否相似的時候，也有其他更加準確的方法，不僅如此，在具體判斷兩個物品是否相似之前，對兩個物品所對應的數據也也需要進行很多的處理。

3、?何計算

v向量投影到u向量上

投影點的方向，也就是u向量除以u向量的模，也就是u向量方向的單位向量，舉例子，u向量為(3，4)，模長為5，u向量方向的單位向量為(3/5，4/5)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python向量点乘_Python线性代数学习笔记——向量的点乘与几何意义，实现向量的点乘操作...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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