4種頻率及其數(shù)量關(guān)系

實(shí)際物理頻率表示AD采集物理信號的頻率，fs為采樣頻率，由奈奎斯特采樣定理可以知道，fs必須≥信號最高頻率的2倍才不會發(fā)生信號混疊，因此fs能采樣到的信號最高頻率為fs/2。

角頻率是物理頻率的2*pi倍，這個也稱模擬頻率。

歸一化頻率是將物理頻率按fs歸一化之后的結(jié)果，最高的信號頻率為fs/2對應(yīng)歸一化頻率0.5，這也就是為什么在matlab的fdtool工具中歸一化頻率為什么最大只到0.5的原因。

圓周頻率是歸一化頻率的2*pi倍，這個也稱數(shù)字頻率。

有關(guān)FFT頻率與實(shí)際物理頻率的分析

做n個點(diǎn)的FFT，表示在時(shí)域上對原來的信號取了n個點(diǎn)來做頻譜分析，n點(diǎn)FFT變換的結(jié)果仍為n個點(diǎn)。

換句話說，就是將2pi數(shù)字頻率w分成n份，而整個數(shù)字頻率w的范圍覆蓋了從0-2pi*fs的模擬頻率范圍。這里的fs是采樣頻率。而我們通常只關(guān)心0-pi中的頻譜，因?yàn)楦鶕?jù)奈科斯特定律，只有f=fs/2范圍內(nèi)的信號才是被采樣到的有效信號。那么，在w的范圍內(nèi)，得到的頻譜肯定是關(guān)于n/2對稱的。

舉例說，如果做了16個點(diǎn)的FFT分析，你原來的模擬信號的最高頻率f=32kHz，采樣頻率是64kHz，n的范圍是0,1,2...15。這時(shí)，64kHz的模擬頻率被分成了16分，每一份是4kHz，這個叫頻率分辨率。那么在橫坐標(biāo)中，n=1時(shí)對應(yīng)的f是4kHz, n=2對應(yīng)的是8kHz, n=15時(shí)對應(yīng)的是60kHz，你的頻譜是關(guān)于n=8對稱的。你只需要關(guān)心n=0到7以內(nèi)的頻譜就足夠了，因?yàn)?#xff0c;原來信號的最高模擬頻率是32kHz。

這里可以有兩個結(jié)論。

第一，必須知道原來信號的采樣頻率fs是多少，才可以知道每個n對應(yīng)的實(shí)際頻率是多少，第k個點(diǎn)的實(shí)際頻率的計(jì)算為f(k)=k*(fs/n)

第二，你64kHz做了16個點(diǎn)FFT之后，因?yàn)轭l率分辨率是4kHz，如果原來的信號在5kHz或者63kHz有分量，你在頻譜上是看不見的，這就表示你越想頻譜畫得逼真，就必須取越多的點(diǎn)數(shù)來做FFT，n就越大，你在時(shí)域上就必須取更長的信號樣本來做分析。但是無論如何，由于離散采樣的原理，你不可能完全準(zhǔn)確地畫出原來連續(xù)時(shí)間信號的真實(shí)頻譜，只能無限接近(就是n無限大的時(shí)候)，這個就叫做頻率泄露。在采樣頻率fs不變得情況下，頻率泄漏可以通過取更多的點(diǎn)來改善，也可以通過做FFT前加窗來改善，這就是另外一個話題了。

離散信號傅里葉變換的周期性討論

要分析這個，我們先從Laplace變換與Z變換之間的關(guān)系談起。

由

，得z平面與s平面的關(guān)系圖

圖中的關(guān)系有以下幾點(diǎn)：

s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上

s平面的負(fù)半軸映射到z平面的單位圓內(nèi)

s平面的正半軸映射到z平面的單位圓外

Laplace變換是用于連續(xù)信號的變換，相對應(yīng)的z變換是應(yīng)用到z平面的變換。因此從另一個角度，上面談到的角頻率

(模擬頻率)對應(yīng)的是s平面，圓周頻率

對應(yīng)的是z平面(也是為什么稱為圓周頻率的原因)。

現(xiàn)在我們來看一下s平面虛軸上模擬頻率的變換將會導(dǎo)致z平面單位圓上如何變化：

當(dāng)模擬頻率在s平面的虛軸上從0變到fs 時(shí)，數(shù)字頻率在z平面單位圓上從0變到2 pi。

當(dāng)模擬頻率在s平面的虛軸上從2fs變到4fs時(shí)，數(shù)字頻率在z平面單位圓上仍然從0變到2 pi。

。。。。。。z平面如此循環(huán)重復(fù)

我們知道離散信號的傅里葉變換對應(yīng)到單位圓上的z變換，因此上面的結(jié)論就驗(yàn)證了為什么離散信號的傅里葉變換是周期性：根本原因所是單位圓上的周期性。

考慮到我們實(shí)際應(yīng)用中可選擇一個周期，這也能夠解釋：因?yàn)閷?shí)際信號的頻率總是在fs/2以下，這就對應(yīng)到z平面單位圓上的0~pi，在一個周期范圍內(nèi)就可以進(jìn)行信號分析了。

總結(jié)

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