上回我們說到，高斯老哥用消元法解線性方程，大致步驟呢就是給系數(shù)矩陣消元，運氣好點呢直接整出上三角系數(shù)矩陣，得到方程組的唯一解，運氣不行呢，消著消著發(fā)現(xiàn)整不出上三角，這時就得再討論方程是有多解還是無解。

這里所說的"運氣"呢其實可以根據(jù)行列式啊，Ax=0是否有解啊判斷得到，具體操作可以看看我聊消元法的那一篇文章。

但是，高斯消元法存在一個問題，就是它是給人做的，比如給第一行乘個倍數(shù)加到另一行，或者將矩陣的兩行交換個位置，這些我們手寫計算當然沒什么問題，但是你讓計算機做它就不能忍了，計算機沒那么多判斷的能力，它就想要一種統(tǒng)一的計算模式和計算次數(shù)。ok，那我們就來聊一聊計算機是怎么做這些操作的，順便我們能夠知道為什么有很多科學(xué)家對矩陣乘法性能的提高有著孜孜不倦的追求。

我們先以一種抽象的方式來看看矩陣和列向量相乘，比如

根據(jù)第一節(jié)所說，系數(shù)方陣的三個列向量為三維空間中的三個獨立向量，用它們可以組成三維空間的任一向量，[x,y,z]分別為這三個向量的擴展倍數(shù)，假如我想知道一倍的[1,2,4]與三倍的[3,7,8]的和向量是什么，只需要給[x,y,z]賦值[1,3,0]就可以了，即

那么如果我想知道

[1,2,4]向量與

負三倍的[1,2,4]與一倍的[3,7,8]的和向量以及

負四倍的[1,2,4]與一倍的[4,5,9]的和向量

的組合是什么，就可以運算

將計算過程及結(jié)果整理一下就可以得到

此時我們會驚奇得發(fā)現(xiàn)居然消元了，第一行居然消元了！只不過在列方向，高斯消元法需要的是在行方向做消元，那如果我對行向量能做一些求和之類的操作問題不就解決了嗎。而這你也不需要擔心，因為有數(shù)學(xué)大佬已經(jīng)幫你總結(jié)好了，即

根據(jù)消元步驟先根據(jù)pivot1給23行消元，即

再根據(jù)pivot2給第三行消元，即

再將最后一行變?yōu)?

以上我們將消元的過程變?yōu)榱司仃嚦朔?#xff0c;我猜這就是計算機做消元的方法，當然，在消元過程中有時要用到兩行交換位置的情況，我們也可以利用矩陣乘得到，比如交換矩陣的前兩行

我們將上述給原矩陣做變換的矩陣叫做初等變換矩陣，初等變換矩陣的逆矩陣非常好求，逆矩陣的定義為AA^{-1}=E，而初等變換矩陣正是E經(jīng)過了簡單的運算得到的。比如將第一行乘4并加到第二行的變換矩陣，只要從第二行中減去第一行的4倍就變回了單位陣，也就得到了逆矩陣。，即

而交換兩行的變換陣的逆矩陣是它本身

那么更一般的矩陣求逆怎么做呢(已知矩陣可逆)，要不怎么說數(shù)學(xué)家牛逼呢，Gauss-Jordan法使求逆完全可以通過消元來解決，就是這二位

他們表示，假如你想求一個逆矩陣啊，先給原矩陣旁邊整一個單位陣，然后給第一個矩陣開始消元，消元過程中單位陣做同樣的變換，當原來的矩陣變?yōu)閱挝魂嚂r，單位陣就是原矩陣的逆矩陣，首先是Gauss的消元法創(chuàng)造上三角矩陣

然后jordan說你把這個上三角再倒著消元成單位陣就得到逆矩陣啦

不放心的話拿到matlab里驗證一下就ok了。

我們可以看到，化簡求逆都是經(jīng)過矩陣乘來運算，這種較為統(tǒng)一的運算過程可是把計算機爽死了，我們說的解方程啊，矩陣求逆啊到這里都變成了矩陣的乘法運算，而矩陣乘不僅僅只有這一點應(yīng)用，在空間中一個向量的放大，縮小，平移，旋轉(zhuǎn)都是通過乘矩陣的方式來實現(xiàn)，所以在矩陣乘這個計算上一點點的優(yōu)化都可能使軟件性能發(fā)生巨大變化，這也就回答了文章開始的問題，為什么有那么多人不斷追求矩陣乘運算性能的提高。微小的改變卻能導(dǎo)致巨大的性能變化，這可能就是算法之美吧。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的怎么用计算机求逆矩阵,计算机是怎么求解线性方程的(矩阵乘和求逆)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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