矩陣求逆操作的復雜度分析
逆矩陣的復雜度分析

1 背景

之前寫過一篇關于矩陣復雜度分析的文章，沒有想到閱讀人數那么多。對于IT相關人士來說，從代碼層次再結合基本數學知識，就能夠很好地理解矩陣的復雜度如何計算得到和分析。其中一位讀者提出“矩陣求逆的復雜度如何分析”。今天就來一起共同探討一下，筆者知道，矩陣求逆有多種方法，這里就來探討最基本的方式，其他優化方式，讀者可以看完本篇博客后，自行分析，因為原理基本上差不是很多。本篇博客僅僅是拋磚引玉。

2 求逆操作分析

2.1 求逆矩陣基本原理

這里很多讀者可以容易忽視掉，先復習一下。
$$(A|E)=(E|A^{?1})$$
相信大家對這個公式都比較熟悉，即把原矩陣和一個單位矩陣對齊后，進行行列變化，就得到了單位矩陣，右邊部分就算逆矩陣。

證明如下：
$$A^{?1}(A|E)=(A^{?1}A|A^{?1}E)$$
$$=(E|A^{?1})$$
思考為什么呢？

因為：
$$A^{?1}A=E$$，右乘$$A^{?1}$$后：
$$A^{?1}E=A^{?1}$$

故變化的橋梁就是存在$$A^{?1}$$

3 逆矩陣復雜度分析-高斯消元法

3.1 代碼層次

/* 函數說明：將原矩陣a和一個單位矩陣E作成一個大矩陣(A,E)， 用初等變換將大矩陣中的a變成E，則會得到(E,A^{-1})的形式 * */ void inverseMatrix(double arc[d][d], int n, double ans[d][d])//計算矩陣的逆 {/*d = n : 表示維度arc[d][d] : 原始矩陣，dxdans[d][d] : 變化后的結果矩陣，dxd ，一開始初始化為單位矩陣*/int i, j, k;//列double max, tempA, tempB, P;int max_num;double arcCopy[d][d];memcpy(arcCopy, arc, 288);for (i = 0; i < n; i++){ans[i][i] = 1;}for (i = 0; i < n; i++)//第i列{max = fabs(arcCopy[i][i]);max_num = i;for (j = i + 1; j < n; j++)//選出主元{if (fabs(arcCopy[j][i]) > max){max = fabs(arcCopy[j][i]);max_num = j;}}for (k = 0; k < n; k++)//交換行{tempA = arcCopy[i][k];arcCopy[i][k] = arcCopy[max_num][k];arcCopy[max_num][k] = tempA;tempB = ans[i][k];ans[i][k] = ans[max_num][k];ans[max_num][k] = tempB;}for (k = i + 1; k < n; k++){P = arcCopy[k][i] / arcCopy[i][i];for (j = 0; j < n; j++){arcCopy[k][j] = arcCopy[k][j] - arcCopy[i][j] * P;ans[k][j] = ans[k][j] - ans[i][j] * P;}}}for (i = 0; i < n; i++)//行{P = arcCopy[i][i];for (j = i; j < n; j++){arcCopy[i][j] = arcCopy[i][j] / P;}for (j = 0; j < n; j++){ans[i][j] = ans[i][j] / P;}}for (i = n - 1; i > 0; i--){for (j = i - 1; j >= 0; j--){for (k = 0; k < n; k++){ans[j][k] = ans[j][k] - ans[i][k] * arcCopy[j][i];}}} }

3.2 結果

逆矩陣時間復雜為：O(n^3)

開銷代價最大是這里，

for (i = n - 1; i > 0; i--){for (j = i - 1; j >= 0; j--){for (k = 0; k < n; k++){ans[j][k] = ans[j][k] - ans[i][k] * arcCopy[j][i];}}}

4 逆矩陣復雜度分析-伴隨矩陣

這個比較直接：
$$A^{?1}=A^{?}/det(A)$$
即先計算A的伴隨矩陣，再計算A的行列式值。
前者的復雜度為：$$N?O(N!)$$
后者的復雜度為：$$N^2?O((N?1)!)$$

故使用伴隨矩陣求解方式的復雜度為：
$$N?O(N!)+N^2?O((N?1)!)$$

ps：本博客只考慮基本的操作，不考慮優化處理

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵求逆操作的复杂度分析（逆矩阵的复杂度分析）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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