逆矩阵的概念、应用和求解
目錄
逆矩陣的概念
求解逆矩陣
應用例子
可能沒有逆矩陣
求解逆-方法1：初等行運算（高斯－若爾當）
求解逆-方法2：余子式、代數余子式和伴隨
求解逆-方法3：程序庫
逆矩陣的概念
矩陣運算中，是沒有除法的，也就是不能除以一個矩陣，這時就需要逆矩陣了。
注意：矩陣一定是方正（行和列的數目相同），才能有逆矩陣。
假設知道矩陣 A 和 B，而需要求矩陣 X：
這里不能除以矩陣A（X=B/A），但是可以每邊都乘以 ?：
因為 A?= I （I 是單位矩陣），所以：
最后得出 ：
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求解逆矩陣
逆矩陣求解公式：
調換 a 和 d 的位置，把 負號放在 b 和 c 前面，然后除以矩陣的行列式（ad-bc）。
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應用例子
題目：一幫人坐公交車，車費是小孩￥3，大人￥3.2，總共是￥118.4。回程他們搭地鐵，車費是小孩￥3.5，大人￥3.6，總共是￥135.2。請問幾個小孩和幾個大人？
解：設小孩 x1個，大人x2個。
先求左側矩陣的逆：
得出結果：
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答：16個小孩，22個大人。
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可能沒有逆矩陣
如果矩陣的行列式為零，這時就沒有逆矩陣。如：
這種矩陣叫 "降秩矩陣"，就是行列式為零的矩陣。
從該矩陣看出，第二行是第一行的兩倍（或n倍），它們的行列式一定是零，這并沒有提供新的信息或特征。
如上面的例子中，如果地鐵的車費全是比公交車貴一半，我們便不能找出大人和小孩的分別。一定要有某些信息或特征來區別他們的不同，才可以算出小孩和大人的數量。
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求解逆-方法1：初等行運算（高斯－若爾當）
計算 2x2 矩陣的逆是很容易的，但是計算更大的矩陣就比較復雜了。
這里介紹一種求解大矩陣的逆的方法：初等行運算（高斯－若爾當）。求解方法：
把矩陣 A 和 單位矩陣 I 放到一起，然后通過運算把 A 變成 I，這時 I 就變成了 。
例子：求 A 的逆矩陣。解：
直觀理解該方法：
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求解逆-方法2：余子式、代數余子式和伴隨
余子式、代數余子式和伴隨來求逆矩陣，計算過程比較繁瑣。有以下步驟：
1、求余子式矩陣
2、轉成代數余子式矩陣
3、轉成伴隨矩陣
4、乘以 1/行列式
例子：求 A 的逆矩陣。解：
余子式矩陣（計算行列式）：
代數余子式矩陣（加入相隔正負號）：
轉成伴隨矩陣（轉置）：
乘以 1/行列式：
矩陣A的行列式 = 3×2 - 0×2 + 2×2 = 10
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求解逆-方法3：程序庫
1、使用 Octave 中的?pinv(A)。
2、使用 Python 中 numpy.linalg.inv(A)。
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的逆矩阵的概念、应用和求解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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