量子糾纏

• 1 量子純態(tài)糾纏熵
• • 1.1 施密特(Schmidt)分解
  • 1.2 香農(nóng)熵(Shannon entropy)
  • 1.3 馮紐曼熵(von Neumann Entropy)
  • 1.4 糾纏熵示例
• 2 量子混合態(tài)糾纏判定
• 3 單配糾纏(Monogamy of Entanglement)

如何量化量子糾纏是本次的主題，我們主要看純態(tài)(pure state)和混合態(tài)(mixed state)兩種情況。

1 量子純態(tài)糾纏熵

假設(shè)張三李四的偶量子態(tài)(Bipartite Quantum State, BQS)如下所示：
$$|\psi ?=\sum _{ij}{\alpha }_{ij}|i{?}_A|j{?}_B$$其糾纏熵(Entanglement Entrophy)如下所示：
$$\begin{gathered} E(|\psi ?)=S({\rho }^A)=S({\rho }^B)= \\ H([[{\lambda }_0{]}^2,\dots ,[{\lambda }_{n?1}{]}^2{]}^{?}) \end{gathered}$$ 其中，$H()$是香農(nóng)熵(Shannon entropy)；$[[{\lambda }_0{]}^2,\dots ,[{\lambda }_{n?1}{]}^2{]}^{?}$是其施密特(Schmidt)分解$A={\alpha }_{ij}$的概率分布；$S({\rho }^A)$是張三的約化密度矩陣的馮紐曼熵(von Neumann Entropy)。約化密度矩陣見(jiàn) 量子計(jì)算 4 推送內(nèi)容。

1.1 施密特(Schmidt)分解

對(duì)于$|\psi ?={\sum }_{ij}{\alpha }_{ij}|i{?}_A|j{?}_B$，系數(shù)$A={\alpha }_{ij}$可通過(guò)特征值分解為$U\Lambda V^{?}$，則$U^{?}AV=\Lambda$，說(shuō)明張三李四可通過(guò)自己局部的酉變換進(jìn)行基變換，最終將該量子態(tài)轉(zhuǎn)化成：
$$\sum _i{\lambda }_i|v_i?|w_i?$$ 其中$|v_i?$和$|w_i?$分別為正交基，但不一定互相正交。于是，在$\{|v_i?,|w_i?\}$基下測(cè)量時(shí)概率分布為$[[{\lambda }_0{]}^2,\dots ,[{\lambda }_{n?1}{]}^2{]}^{?}$。

1.2 香農(nóng)熵(Shannon entropy)

對(duì)經(jīng)典概率分布$P=[p_0,\dots ,p_{n?1}{]}^{?}$，其香農(nóng)熵為：
$$H(P)=\sum _{i=0}^{n?1}{p}_i{\log }_2\frac{1}{p_i}$$ 其越大說(shuō)明信息不確定性越強(qiáng)，當(dāng)事件完全確定時(shí)為零，當(dāng)$n=2$時(shí)，其香農(nóng)熵最大為1。

1.3 馮紐曼熵(von Neumann Entropy)

于是將混合態(tài)或純態(tài)的密度矩陣$\rho$所對(duì)應(yīng)的馮紐曼熵(von Neumann Entropy)定義為：
$$S(\rho )=\sum _{i=0}^{n?1}{\gamma }_i{\log }_2\frac{1}{{\gamma }_i}$$ 其中${\gamma }_i$為$\rho$的密度矩陣。即將密度矩陣對(duì)角化，其對(duì)角線值表達(dá)的概率分布的香農(nóng)熵記為馮紐曼熵(von Neumann Entropy)。

用不同的基進(jìn)行測(cè)量，密度矩陣會(huì)給出不同的概率分布，馮紐曼熵(von Neumann Entropy)可以看成是這些概率分布里面最小的香農(nóng)熵，即不確定性最小的基（最接近真實(shí)量子態(tài)的基），測(cè)量得到的結(jié)果：
$$S(\rho )=\underset{U}{\min }H(\text{diag}(U\rho U^{?}))$$ 比如對(duì)量子態(tài)$|+?$，如果在$\{|0?,|1?\}$下測(cè)量的化，結(jié)果是一半一半的概率，香農(nóng)熵為1，如果在$\{|+?,|??\}$測(cè)量，結(jié)果就是確定的，香農(nóng)熵為0，所以對(duì)于確定的$|+?$，其馮紐曼熵(von Neumann Entropy)為0；
同樣的，對(duì)于maximally mixed state, 其密度矩陣為$\frac{I}{2}$，其馮紐曼熵(von Neumann Entropy)為1。

1.4 糾纏熵示例

$$\begin{gathered} E(|\psi ?)=S({\rho }^A)=S({\rho }^B)= \\ H([[{\lambda }_0{]}^2,\dots ,[{\lambda }_{n?1}{]}^2{]}^{?}) \end{gathered}$$

• 對(duì)于量子態(tài)$|\psi ?$的糾纏熵，可以通過(guò)張三李四的約化密度矩陣，即其子系統(tǒng)來(lái)計(jì)算，即在張三自己測(cè)量了之后，李四的密度矩陣所表達(dá)的量子態(tài)的不確定性表達(dá)了張三李四的糾纏程度，如果李四的密度矩陣的馮紐曼熵(von Neumann Entropy)為0，即一個(gè)確定的量子純態(tài)，那說(shuō)明倆人也沒(méi)啥糾纏了；也可以通過(guò)其BQS系數(shù)的施密特分解對(duì)應(yīng)的概率來(lái)計(jì)算，如找到兩個(gè)測(cè)量基$\{v_i,w_i\}$分別對(duì)張三李四測(cè)量的概率都是1，那說(shuō)明兩者都是一個(gè)確定的狀態(tài)，兩者沒(méi)有糾纏，熵也是0。這兩種情況的計(jì)算是相同的；
• 對(duì)于沒(méi)有糾纏的$|\psi {?}_1?|\psi {?}_2$其糾纏熵為零；對(duì)于Bell pair $\frac{|00?+|11?}{\sqrt{2}}$，其糾纏熵為1。因此對(duì)于糾纏熵的值，可以看成是我們需要多少個(gè)Bell pair來(lái)建立這個(gè)量子態(tài)，或者可以從中提取多少個(gè)量子態(tài)，這兩個(gè)值對(duì)于純態(tài)是相同的，但是對(duì)于后面的混合態(tài)則不一定。

2 量子混合態(tài)糾纏判定

量子混合態(tài)的糾纏判斷比較tricky：

• 對(duì)混合態(tài)(Mixed state)$\{p_i,|{\psi }_i?\}$，僅憑其密度矩陣${\sum }_i{p}_i|{\psi }_i??{\psi }_i|$其實(shí)無(wú)法判斷原始的量子態(tài)$|{\psi }_i?$是否糾纏;
• 創(chuàng)建一個(gè)混合偶態(tài)(bipartite mixed states)，$\rho$，需要的糾纏量子比特，即Entanglement of Formation$=E_F(\rho )$，要大于等于從該混合態(tài)中可以提取的糾纏量子比特Distillable Entanglement$=E_D(\rho )$，而且有可能$E_F(\rho )>>E_D(\rho )$，即糾纏的量子態(tài)，在混合之后，糾纏消失了！？
• 對(duì)于混合偶態(tài)(bipartite mixed states)，稱其為separable，如果滿足$\rho ={\sum }_i{p}_i|v_i??v_i|?|w_i??w_i|={\sum }_i{p}_i|v_i{w}_i??v_i{w}_i|$，但是其組成成分，可能是entangle的純態(tài)，和第二條對(duì)應(yīng)，本來(lái)entangle的純態(tài)，混合之后，其密度矩陣變成了separable了，糾纏消失了。
• 不像純態(tài)一樣能通過(guò)糾纏熵很好的判斷，確定混合態(tài)$\rho$能否separable的分解是個(gè)NP hard的問(wèn)題，而密度矩陣$\rho$又是我們能掌握的所有信息，于是又很多論文在嘗試對(duì)不同的糾纏分類識(shí)別。

3 單配糾纏(Monogamy of Entanglement)

有個(gè)很神奇的量子態(tài)叫做GHZ state，長(zhǎng)得有點(diǎn)像Bell pair，如下所示：
$$\frac{|000?+|111?}{\sqrt{2}}$$ 對(duì)于這個(gè)三比特量子態(tài)，分別對(duì)應(yīng)張三李四王五，有個(gè)神奇的現(xiàn)象，就是只有當(dāng)張三李四王五在一起的時(shí)候這個(gè)糾纏才存在，如果王五不在，那他可能測(cè)量了自己的比特，而且根據(jù)No-communication定理，張三李四的密度矩陣不論是不是王五測(cè)量都不會(huì)變，那我們看看如果王五測(cè)量了示什么情況，那就和王五沒(méi)測(cè)量的情況是一樣的。

王五測(cè)量了之后，一半可能是$|0?$另一半可能是$|1?$，于是張三李四的密度矩陣其實(shí)就是$|00?$和$|11?$的混合，糾纏消失了，對(duì)于Bell pair，不同之處是其狀態(tài)是$|00?$和$|11?$的疊加。

因此張三李四的密度矩陣是：

而Bell pair的密度矩陣是：

所以，雖然GHZ state明顯是entangle的，但是少了誰(shuí)都不entangle了，就像是博羅梅安環(huán)(Borromean rings)，少了誰(shuí)環(huán)都是分開的。

這里其實(shí)反應(yīng)了一個(gè)更廣泛的原則：

單配糾纏(Monogamy of Entanglement):
如果張三的Qubit和李四的Qubit是最大糾纏(Maximally entangled)，那張三的Qubit就不能和王五的Qubit最大糾纏(Maximally entangled)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的量子计算 8 量子纠缠的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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