本專欄的主要內(nèi)容是 《量子信息與量子計(jì)算簡明教程》陳漢武 這本書的學(xué)習(xí)筆記及復(fù)習(xí)整理。

本章所涉及到的主要內(nèi)容概覽如下：

一、量子糾纏態(tài)

??關(guān)于量子糾纏態(tài)，如果閱讀過第一章·基本概念(上)，那么將會(huì)對其不再陌生。如果你是第一次看到的話，那么本文將在這里再次復(fù)習(xí)一下。量子糾纏狀態(tài)指的是兩個(gè)或多個(gè)量子系統(tǒng)之間的非定域、非經(jīng)典的關(guān)聯(lián)，是量子系統(tǒng)內(nèi)各子系統(tǒng)或各自由度之間關(guān)聯(lián)的力學(xué)屬性。在某種程度上，以上表述還是有些難以理解，那么換種表述方式或許能幫助理解：如果qubit列的疊加態(tài)無法用個(gè)qubit的張量積表示，這種疊加態(tài)就稱為量子糾纏態(tài)。例如疊加態(tài)$\frac{1}{\sqrt{2}}|01?+\frac{1}{\sqrt{2}}|10?$無法寫成兩個(gè)qubit的直積(即張量積)，稱此疊加態(tài)為糾纏態(tài)。
??進(jìn)一步，愛因斯坦的狂熱粉絲貝爾為了支持愛因斯坦，推導(dǎo)了最終證明愛因斯坦錯(cuò)了的貝爾不等式，以及貝爾算符的全套本征態(tài)即貝爾態(tài)基：
$$|{\beta }_{00}?=\frac{|00?+|11?}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}?\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}?,|{\beta }_{01}?=\frac{|01?+|10?}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}?\begin{array}{l}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}?$$$$|{\beta }_{10}?=\frac{|00??|11?}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}?\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ ?1\end{array}?,|{\beta }_{11}?=\frac{|01??|10?}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}?\begin{array}{c}0\\ 1\\ ?1\\ 0\end{array}?$$不難看出，貝爾態(tài)基均為糾纏態(tài)。為了深入理解量子糾纏態(tài)的性質(zhì)，不妨來看看如何構(gòu)造量子糾纏態(tài)。
??以兩量子直積態(tài)$|00?$出發(fā)，記為$|0_A{0}_B?$，構(gòu)造糾纏態(tài)$\frac{|00?+|11?}{\sqrt{2}}$。首先對$|0_A?$作用Hadamard門，得到狀態(tài)
$$H|0_A{0}_B?=\frac{|0_A?+|1_A?}{\sqrt{2}}|0_B?=\frac{|0_A{0}_B?+|1_A{0}_B?}{\sqrt{2}}$$仔細(xì)觀察可知，僅需要將$|1_A{0}_B?$變換為$|1_A{1}_B?$即可得到糾纏態(tài)。于是，有$|0_A{0}_B?$不發(fā)生變化，$|1_A{0}_B?$變換為$|1_A{1}_B?$，根據(jù)我們在第二章·經(jīng)典比特與量子比特中的講解可知，以A為控制比特為，B為目標(biāo)比特位，對$H|0_A{0}_B?$作用$CNOT$門即可完成目標(biāo)糾纏態(tài)的構(gòu)造：
$$CNOT\frac{|0_A{0}_B?+|1_A{0}_B?}{\sqrt{2}}=\frac{|0_A{0}_B?+|1_A{1}_B?}{\sqrt{2}}$$上述過程也可以在量子線路上進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，如下圖所示。

測量得到的概率為：

??類似地，我們可以得到一個(gè)通用的 生成貝爾狀態(tài)的量子狀態(tài)變換回路： 回路的輸入狀態(tài)是$|xy?$qubit對，對其中一個(gè)qubit做Hadamard變換，然后再與另一個(gè)qubit同時(shí)經(jīng)過控制非門變換后得到的輸出結(jié)果就是貝爾態(tài)基之一。如下圖所示。

基底$|00?,|01?,|10?,|11?$的狀態(tài)變換過程如下：

??(1) 對$|00?,|01?,|10?,|11?$做Hadamard變換
$$\begin{array}{rl}& H|00?=H|0?|0?=\left(\frac{|0?+|1?}{\sqrt{2}}\right)|0?=\frac{|00?+|10?}{\sqrt{2}}\\ & H|01?=H|0?|1?=\left(\frac{|0?+|1?}{\sqrt{2}}\right)|1?=\frac{|01?+|11?}{\sqrt{2}}\\ & H|10?=H|1?|0?=\left(\frac{|0??|1?}{\sqrt{2}}\right)|0?=\frac{|00??|10?}{\sqrt{2}}\\ & H|11?=H|1?|1?=\left(\frac{|0??|1?}{\sqrt{2}}\right)|1?=\frac{|01??|11?}{\sqrt{2}}\end{array}$$??(2) 對上述四個(gè)疊加態(tài)分別作CNOT變換，得到貝爾態(tài)
$$\begin{array}{rl}& |{\beta }_{00}?=\frac{|00?+|11?}{\sqrt{2}},|{\beta }_{01}?=\frac{|01?+|10?}{\sqrt{2}}\\ & |{\beta }_{10}?=\frac{|00??|11?}{\sqrt{2}},|{\beta }_{11}?=\frac{|01??|10?}{\sqrt{2}}\end{array}$$通過以上過程，學(xué)習(xí)了糾纏狀態(tài)的生成。接下來，看一看測定一個(gè)糾纏狀態(tài)時(shí)，其呈現(xiàn)出的性質(zhì)，以貝爾狀態(tài)$|{\beta }_{00}?$為例。通過前幾章學(xué)習(xí)的知識(shí)，在對$|{\beta }_{00}?$進(jìn)行測定時(shí)，不難計(jì)算各個(gè)qubit的概率為
$$\begin{array}{rl}& {\left|?00\mid {\beta }_{00}?\right|}^2={\left|\frac{?00\mid 00?+?00\mid 11?}{\sqrt{2}}\right|}^2=\frac{1}{2}\\ & {\left|?01\mid {\beta }_{00}?\right|}^2={\left|\frac{?01\mid 00?+?01\mid 11?}{\sqrt{2}}\right|}^2=0\\ & {\left|?10\mid {\beta }_{00}?\right|}^2={\left|\frac{?10\mid 00?+?10\mid 11?}{\sqrt{2}}\right|}^2=0\\ & {\left|?11\mid {\beta }_{00}?\right|}^2={\left|\frac{?11\mid 00?+?11\mid 11?}{\sqrt{2}}\right|}^2=\frac{1}{2}\end{array}$$??從上述結(jié)果中可以看出， $|{\beta }_{00}?$的測定結(jié)果：當(dāng)?shù)谝晃坏臏y定結(jié)果為0時(shí)，第二位必定為0；當(dāng)?shù)谝晃坏臏y定結(jié)果為1時(shí)，第二位必定為1。余下貝爾狀態(tài)測定結(jié)果與此類似，自己動(dòng)手算上一遍，印象更加深刻！！！

二、量子高密度編碼

??量子糾纏態(tài)能夠用來實(shí)現(xiàn)量子高密度編碼，進(jìn)而實(shí)現(xiàn) 1 個(gè) qubit 傳送 2 bit 的信息。考慮 Alice 通過 1 個(gè) qubit 向 Bob 傳送 2 bit 的經(jīng)典信息。在實(shí)現(xiàn)通信之前，讓 Alice 和 Bob 各自擁有貝爾狀態(tài)：
$$|{\beta }_{00}?=\frac{|0{?}_A|0{?}_B+|1{?}_A|1{?}_B}{\sqrt{2}}$$其中，$|?{?}_A$表示 Alice 擁有的 qubit，$|?{?}_B$表示 Bob 擁有的 qubit。在 Alice 和 Bob 之間共同擁有糾纏狀態(tài)之后，Alice 對應(yīng)于自己想要發(fā)送的信息，在擁有的 qubit 上實(shí)施如下的操作：

??Alice 在對擁有的 qubit 實(shí)施操作以后傳送給 Bob，此時(shí) Bob 擁有的 qubit 對的狀態(tài)，依賴于發(fā)送的信息，取不同的貝爾狀態(tài)。已知貝爾狀態(tài)構(gòu)成正規(guī)直交基底，因此通過貝爾狀態(tài)的測定，Bob 能夠百分之百的確認(rèn) qubit 對的狀態(tài)是哪一個(gè)，從而獲取 Alice 發(fā)送的信息。

對于測定的結(jié)果采用上述方法對信息實(shí)施恢復(fù)操作即可。由此實(shí)現(xiàn)一個(gè)qubit傳送兩位bit值的高密度編碼。
??比如將 bit 列 10 從 Alice 傳送到 Bob。假設(shè) Alice 將自己的 qubit 施加 Z-Gate 演算后的結(jié)果傳送給 Bob，此時(shí) Bob 從糾纏狀態(tài)里獲得的 2 位 qubit 的狀態(tài)為：
$$|{\beta }_{10}?=\frac{\left(Z|0{?}_A\right)|0{?}_B+\left(Z|1{?}_A\right)|1{?}_B}{\sqrt{2}}=\frac{|0{?}_A|0{?}_B?|1{?}_A|1{?}_B}{\sqrt{2}}$$由于${\left|?{\beta }_{10}\mid {\beta }_{10}?\right|}^2=1$，于是能夠判斷測定狀態(tài)的結(jié)果為$|{\beta }_{10}?$，那么傳送的信息為 bit 列 10。

三、采用量子比特的通信界限

??定理 A 有 n 個(gè) bit 的信息要傳送給 B。假定 A 和 B 不共有糾纏狀態(tài)，且無論是從 A 到 B 或是從 B 到 A，都可以無誤地傳送 qubit。此時(shí)設(shè)從 A 傳送到 B 的 qubit 總數(shù)為$n_{AB}$，從 B 傳送到 A 的 qubit 總數(shù)為$n_{BA}$，則 B 能夠正確地獲得 A 傳送的 n 個(gè) bit 的信息的充分必要條件是：
$$n_{AB}\ge \left[\frac{n}{2}\right],\text{?且?}{n}_{AB}+n_{BA}\ge n$$結(jié)論：
??(1) $n_{BA}=0$，即從B到A不可送信的場合，此時(shí)$n_{AB}\ge n$。意味著傳送 n 個(gè) bit 的信息至少需要 n 個(gè) qubit，換個(gè)角度理解，也就是說此時(shí)的 qubit 與經(jīng)典狀態(tài)差不多，1 個(gè) qubit 只能傳送 1 個(gè) bit 的信息，與其能表示無限多狀態(tài)的性質(zhì)無關(guān)。
??(2) 使用糾纏狀態(tài)，傳送 n 個(gè) bit 的信息也至少需要傳送$[n/2]$個(gè) qubit。采用量子高密度編碼，用$[n/2]$個(gè) qubit 可以傳送 n 個(gè) bit 的信息。
??假設(shè)$n_{AB}$和$n_{BA}$滿足上述定理，從 A 傳送到 B 少于$n_{AB}$個(gè) qubit 的信息，從 B 傳送到 A 少于$n_{BA}$個(gè) qubit 的信息。從 A 到 B 傳送 n 個(gè) bit 的信息時(shí)，可采用如下協(xié)議：

??(1) $n_{BA}=0$，即從 B 到 A 不可送信的場合，此時(shí)$n_{AB}\ge n$。如果把 bit 0 編碼成$|0?$，把 bit 1 編碼成$|1?$并從 A 向 B 傳送 n 個(gè) qubit，那么 B 能夠獲取從 A 傳送的 n 個(gè) bit 的信息。
??(2) $[n/2]\le n_{AB}\le n$時(shí)，首先將B做成$n?n_{AB}$對的貝爾狀態(tài)，且把每一個(gè)貝爾狀態(tài)對的一半 qubit 傳送給 A，此時(shí)從 B 向 A 傳送的 qubit 數(shù)為$n?n_{AB}(\le n_{BA})$個(gè)。由此可知，A 和 B 共同擁有$\left(n?n_{AB}\right)$對的貝爾狀態(tài)，因此在執(zhí)行$\left(n?n_{AB}\right)$次量子高密度編碼后，若 A 向 B 傳送$\left(n?n_{AB}\right)$個(gè) qubit，就能夠傳送$2\left(n?n_{AB}\right)$個(gè) bit 位信息(上述結(jié)論(2))。在這之后，同結(jié)論(1)一樣，使用$n_{AB}?\left(n?n_{AB}\right)=2n_{AB}?n$個(gè) qubit，A 將剩余的$2n_{AB}?n$個(gè) bit 傳送給 B 即可。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《量子信息与量子计算简明教程》第三章·量子纠缠状态及其应用 (上)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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