量子笔记：量子纠缠祛魅，贝尔纠缠态
目錄
0. 概要
1. 糾纏態 vs 可分離態
1.1 由張量積生成的雙量子狀態
1.2 無法由張量積生成的雙量子狀態
1.3 雙量子系統狀態的向量空間
2. 測量的視角 from measurement's perspective
2.1 非糾纏態
2.2 糾纏態1
2.3 糾纏態2：貝爾糾纏態
3. 糾纏度：貌合神離?vs 勾肩搭背 vs 心靈交織
4. 如何制備量子糾纏
5. 超光速通信？?
0. 概要
? ? ? ? 量子計算、量子信息、量子編程自學筆記系列。
? ? ? ? 用自己能看懂的方式來表述對于量子計算基礎知識的理解。
? ? ? ? 不求體系完備和邏輯嚴謹、但求通俗易懂。或能順便給路過的小伙伴一些參考和啟發那是純屬巧合概不認賬^-^。當然，這里僅限于輪廓的勾勒和要點的連接，對細節感興趣的話還是要正兒八經地啃正經的參考書。
????????今年的諾貝爾物理獎的三個獲獎者的獲獎貢獻就是量子糾纏方面的工作，更具體一些說就是通過實驗證明貝爾不等式不成立。貝爾不等式（Bell's inequality）是一個有關是否存在完備局域隱變量理論的不等式。貝爾不等式不成立，說明阿爾伯特·愛因斯坦所主張的局域實體論（local realism），其預測不符合量子力學理論。在定域性成立經典物理學中，此一不等式成立。貝爾不等式的數學形式為（其具體內容將在后續章節介紹）：? ? ? ??
???????? ? ? ?
? ? ? ? 本節介紹量子糾纏。關于貝爾不等式相關的東西會在后續篇章介紹。
? ? ? ? 以下為了討論的簡便，僅討論雙量子比特系統。由雙量子比特系統向多量子比特系統的擴展是一個自然的推廣過程。
? ? ? ? 與此前的討論相同，‘狀態’、‘量子態’、‘態矢量’、‘向量’等在本系列中可以理解為同義詞。
? ? ? ? 文中的基底，除非特別之處，均值計算基底（或者說標準基底）。
1. 糾纏態 vs 可分離態
? ? ? ? 前面我們已經說過表示雙量子系統狀態的向量空間可以由兩個量子系統狀態的向量空間以張量積的形式生成。但是，這話其實只說對了一半。
1.1 由張量積生成的雙量子狀態
? ? ? ? 設量子系統1的狀態向量空間的基底記為{，}，量子系統2的的狀態向量空間的基底記為{，}。之所以這樣寫是為了表明這是對應于兩個不同的單量子系統的（狀態）向量空間。然后，為了后面更描述的簡潔，可以記為{，}，{，}，這樣，如前文所說，雙量子系統的基就可以由兩個量子系統的基通過張量積運算生成：
????????????????
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? ? ? ? 最后的簡記法中沒有區分不同量子系統的下標，但是必須記住前面那個數字對應于第一個量子比特系統的基底，后面那個數字對應于第二個量子比特系統的基底。
? ? ? ? 令，，則兩者的張量積可以生成一個雙量子系統的態矢量，如下所示：
????????????????
? ? ? ? 在最后一行中故意避開了使用原單量子位系統的疊加態的復系數a0/1和b0/1，這樣做的意義接下來就會變得清楚了。
? ? ? ? 將以上演算過程倒過來看，可以理解為以系數為r,s,u,t為系數的雙量子位系統態矢量恰好可以分解為兩個單量子位系統態矢量的張量積！
? ? ? ? 但是，我們知道世界并不總是這樣友好的，并不是所有的以上形式的4項式都恰好可以做這種分解！
? ? ? ? 那問題就來了，不能進行以上張量積分解的形如?的式子是不是表示了雙量子位系統的可能的量子態矢量呢？
?????????
1.2 無法由張量積生成的雙量子狀態
????????上節提到，不能進行以上張量積分解的形如?的式子是不是表示了雙量子位系統的可能的量子態矢量呢？
????????答案是yes。只要能滿足
? ? ? ? ?那這種雙量子位態矢量與可以進行張量積分解的雙量子位態矢量有什么區別呢，它又是如何生成的呢？進一步，是這種不能分解的雙量子位態矢量多呢，還是可以進行張量積分解的雙量子位態矢量更多呢？
? ? ? ? 一個簡單的判決準則是：
????????????????
? ? ? ? 如果以上這個等式成立，則該?形如?的式子是可以進行張量積分解的；反之，如果不成立，則說明這個式子是不能進行張量積分解的。
? ? ? ? 【思考題1】請證明以上論斷。
? ? ? ? 大家可能已經猜到了，能夠進行張量積分解的?形如??的雙量子位態矢量表示的是非糾纏態或者說可分離態（separable state）；而不能進行張量積分解的就代表了所謂的糾纏態。
? ? ? ? 那非糾纏態與糾纏態到底有什么不同呢？難道僅僅是能不能完成一個數學游戲（因式分解）嘛？當然不是。
1.3 雙量子系統狀態的向量空間
? ? ? ? 基于以上兩節的討論，現在可以來解釋在這一張一開始所說的”這話其實只說對了一半“是什么意思了。
? ? ? ? 一方面，雙量子系統狀態向量空間的基底可以由兩個單量子系統狀態空間的基底以張量積的形式生成。
? ? ? ? 另一方面，并非所有的雙量子系統狀態向量都能由兩個單量子系統狀態向量以張量積的形式表達。有很多很多（遠遠超過可以表達為張量積的那些表兄弟）雙量子系統狀態向量不能通過兩個單量子系統狀態向量通過張量積運算生成。單純地數學運算的角度來說的話，這些代表糾纏態的疊加態雖然不能進行張量積分解，但是可以表達為能夠進行張量積分解的非糾纏態的線性組合。
? ? ? ? 換言之，只憑借張量積形式本身無法完整構建表示雙量子系統狀態向量空間，還要再加上它們（指非糾纏態）的線性組合才行。
????????【思考題2】請說明為什么可以說雙量子系統狀態向量空間中表示糾纏態的向量遠遠多于表示非糾纏態的向量？
2. 測量的視角 from measurement's perspective
? ? ? ? ?形如??的雙量子位態矢量，根據約定我們知道，觀測之后坍縮到各狀態的概率分別為：
????????????????????????
? ? ? ? 現在我們來看看關于糾纏態和非糾纏態分別在不同的觀測次序下對觀測結果會不會有什么影響。
2.1 非糾纏態
? ? ? ? 如上所述，非糾纏態可以分解為張量積，因此可以寫成：?
????????
? ? ? ? 考慮先對第一個量子比特進行觀測，則：
? ? ? ? (1) 有概率觀測到狀態0。并且由于第一個量子比特坍縮到狀態0，因此第2個量子比特脫離糾纏態變成之前與相關聯的狀態。
? ? ? ? (2)?有概率觀測到狀態1。并且由于第一個量子比特坍縮到狀態1，因此第2個量子比特脫離糾纏態變成之前與相關聯的狀態。?
? ? ? ? 所以你看，無論第一個量子比特的觀測結果是什么，第二個量子比特都會變成相同的疊加態。反過來，如果先測第二個量子比特，無論觀測結果是什么，第一個量子比特都會變成相同的疊加態。
? ? ? ? 這意味著什么呢？這意味著對于這個雙量子系統的狀態來說，觀測順序對觀測結果沒有影響。更具體一點來說，無論先觀測那個量子，無論觀測結果是什么，都不會影響到另一個量子的狀態及其觀測結果。
? ? ? ? 而這正是非糾纏態的特征。雖然強行地將兩者撮合在一起構成雙量子系統，但是兩個家伙同床異夢，互不干涉，形同陌路。
? ? ? ? 說完了非糾纏態的觀測結果與觀測順序的關系，接下來看看糾纏態是個什么情況，是不是能體現出跟非糾纏態不同的地方來。
2.2 糾纏態1
? ? ? ? 接下來我們考慮一個雙量子系統狀態矢量(這里用具體的數值系數，而不是符號系數，是為了方便特殊性的描述)。根據前述判據，很容易判斷該雙量子位系統處于糾纏態，我們來考慮按不同順序進行觀測會對觀測結果有何影響。
? ? ? ? 考慮先對第一個量子比特進行觀測。將以上雙量子疊加態改寫成：
????????????????
? ? ? ? 由此可知，第一個量子比特的觀測有一半的概率得到狀態0；另一半的概率得到狀態1。如果得到狀態0，則第二個量子比特的狀態將變為；如果得到狀態1，則第二個量子比特的狀態將變為。也就是說，根據第一個量子比特的觀測的結果，第二個量子比特可能變成兩種不同的疊加態，其后進一步對第二個量子比特的觀測自然也是不同的。
? ? ? ? 反過來，先對第二個量子比特進行觀測也會得到相似的結果。根據第二個量子比特的觀測的結果，第一個量子比特可能變成兩種不同的疊加態，其后進一步對第一個量子比特的觀測自然也是不同的。
? ? ? ? 當然，不管觀測順序如何，最后得到的4種不同基態的概率都會是相同的。
? ? ? ? 雖然如上所述，對一個量子比特的觀測結果會影響對另一個量子比特的觀測結果，但是第一個量子比特觀測結果并沒有完全決定第二個量子比特的觀測結果，比如說以上第一個量子比特的觀測得到狀態0的情況。從這個意義上來說，我們可以說這個糾纏態糾纏得不是那么緊密。
2.3 糾纏態2：貝爾糾纏態
????????接下來我們考慮一個雙量子系統狀態矢量。同樣根據前述判據，很容易判斷該雙量子位系統處于糾纏態，接下來考慮按不同順序進行觀測會對觀測結果有何影響。
? ? ? ? 考慮先對第一個量子比特進行觀測。如果測量得到狀態0，則顯而易見第二個量子比特立即會變成（此前與第一個量子比特的狀態0糾纏在一起的）狀態1；如果測量得到狀態1，則第二個量子比特立即會變成（此前與第一個量子比特的狀態1糾纏在一起的）狀態0。
? ? ? ? 反過來，考慮先對第二個量子比特進行觀測。結果與以上相似，一旦觀測到了第二個量子比特的狀態，第一個量子比特的狀態也同時確定。
? ? ? ? 這正是在一把科普文章中最常見于描述的那種糾纏態，對一個進行觀測會同時確定另一個的狀態。顯然，這是比上一種情況糾纏得更加緊密的糾纏態！
? ? ? ? 這種糾纏態被稱為貝爾糾纏態（得名于那個著名的貝爾不等式的提出者愛爾蘭物理學家約翰.斯圖亞特.貝爾。）貝爾糾纏態共有四種如下所示：
????????????????
? ? ? ? 【思考題3】4個貝爾態構成的一組標準正交基。試證明。?
3. 糾纏度：貌合神離?vs 勾肩搭背 vs 心靈交織
? ? ? ? 這是屬于我個人的八卦式私貨^-^。?
????????貌合神離：非糾纏態
? ? ? ? 勾肩搭背：一個量子的觀測會對另一個量子觀測結果產生影響，但是并非確定性的影響
? ? ? ? 心靈交織：一個量子的觀測結果完全決定了另一個量子觀測結果
4. 如何制備量子糾纏
????????coming soon?
5. 超光速通信？?
? ? ? ? 考慮這樣一個思想實驗。假設我們有處于貝爾糾纏態的一對糾纏粒子，分別由愛麗絲（Alice）和鮑勃（Bob）攜帶保管（順便說一下，Alice和Bob經常出現在相關科普之中的原因在于TA們英文名字首字母分別是A和B，嗯，僅此而已）。假設鮑勃乘坐一個航天器飛往系外行星（為什么是鮑勃飛往外星球而不是愛麗絲呢？飛往系外行星比較幸苦嘛，當然應該是男生去做^-^），愛麗絲則留在地球上的控制中心。
????????航天器到達了系外行星后，讓我們來看看鮑勃有沒有可能利用量子糾纏向愛麗絲發送有效的信息？比如說，鮑勃的任務是探測某系外行星是否是宜居的。并且鮑勃和愛麗絲已經約定了如果鮑勃向愛麗絲發送了1就表示肯定的答案，發送0就表示否定的答案。
? ? ? ? 現在，鮑勃發現這顆系外行星是宜居的，那他能夠利用量子糾纏向愛麗絲發送”1“嗎？
? ? ? ? 鮑勃要利用量子糾纏向愛麗絲發送信息，所能做的就是觀測他手中的粒子。當他這樣做時，我們知道，他有50%的概率會得到“0”和“1”；然后，愛麗絲再測量她手頭的粒子時會得到完全依賴于鮑勃測量結果的一個結果（具體是0-->0還是0-->1取決于使用的是何種糾纏態）。
? ? ? ? 然而，這達到了傳輸有效信息的作用嗎？沒有。
????????關鍵的是，鮑勃對于他的測量所得到的結果沒有任何發言權或影響力，鮑勃不能確定性地讓他手中的粒子坍縮到某一個特定的狀態，所以他無法確定性地發出“1”的信息。所以，雖然，當愛麗絲在預期的時間查看她的粒子時，愛麗絲所看的的結果完全取決鮑勃的觀測結果，TA們兩人無法利用這一對糾纏的粒子傳遞任何有效的信息。
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參考文獻
[1] 人人可懂的量子計算，克里斯.伯恩哈特著，邱道文等譯，機械工業出版社
[2] 量子計算：一種應用方法，杰克.希德里著，姚彭暉等譯，人民郵電出版社
[3] 與量子比特共舞，羅伯特.S.蘇托爾著，吳攀譯，人民郵電出版社
[4] 圖解量子計算機，宇津木健著，胡屹譯，人民郵電出版社
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的量子笔记：量子纠缠祛魅，贝尔纠缠态的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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